Aspectos cuantitativos en las demostraciones del Teorema Fundamental del Álgebra

DANIEL PERRUCCI; MARIE-FRANCOISE ROY

Buenos Aires

Congreso; Primer Encuentro Conjunto de la Real Sociedad Matemática Española (RSME) y la Unión Matemática Argentina (UMA); 2017

RSME-UMA

Actualmente se conocen diversas demostraciones del Teorema Fundamental del Álgebra, de distinta naturaleza. Entre las demostraciones de tipo algebraico, una de las más famosas es la de Laplace, en la que el teorema se demuestra a partir del hecho de que en R[X] se verifica el Teorema del Valor Medio. Siguiendo esta demostración, para demostrar que cualquier polinomio en C[X] de grado menor o igual a d tiene una raı́z en C, se necesita aplicar el Teorema del Valor Medio a polinomios en R[X] de grado exponencial en d.Recientemente, Michael Eisermann propuso una nueva demostración del Teorema Fundamental del Álgebra, de naturaleza mixta entre algebraica y geométrica. La misma involucra los conceptos de Índice de Cauchy y winding number, y finalmente, también se reduce a aplicar convenientemente el Teorema del Valor Medio en R[X].En esta comunicación, mostraremos como mediante el uso de subresultantes, es posible adaptar el trabajo de Eisermann, de manera que para demostrar que cualquier polinomio en C[X] de grado menor o igual a d tiene una raı́z en C, sea necesario aplicar el Teorema del Valor Medio a polinomios en R[X] de grado polinomial en d.