Cotas para los ceros de E-polinomios

GABRIELA JERONIMO; JUAN SABIA

Congreso; LXV Reunión anual de comunicaciones científicas de la Unión Matemática Argentina; 2016

Tarski probó en 1948 que la teoría de primer orden sobre cuerpos reales es decidible ([1]) y quedó planteado el problema para la teoría extendida con exponenciales. Dos herramientas útiles en el caso real son el conteo exacto de la cantidad de raíces reales de un polinomio univariado y una cota para el valor absoluto de estas raíces. Esto motivó el estudio de las propiedades correspondientes para E-polinomios, es decir, funciones de la forma f(x) = F(x,exp(h(x))), con F y h polinomios. La existencia de una cota superior para los ceros de términos exponenciales fue probada en [5], pero la cota no es explícita. Más recientemente, en [3] y [1] (ver también [4]), se dieron algoritmos para el cálculo de cotas superiores para los ceros de funciones del tipo F(x,exp(x)) y se los aplicó para el cálculo simbólico-numérico de ceros y la resolución algorítmica del problema de decisión asociado a este tipo de funciones. En [2], se presentó un algoritmo para el conteo de ceros de E-polinomios y se determinó un intervalo que contiene a dichos ceros. En esta comunicación, presentaremos una nueva cota superior explícita para el valor absoluto de los ceros reales de un E-polinomio f(x) = F(x,exp(h(x))) en función de los grados y los tamaños de los coeficientes de los polinomios F ∈ Z[x,y] y h ∈ Z[x], mejorando un resultado de [2]. Analizaremos también la optimalidad de la cota mediante familias de ejemplos que muestran cómo debe depender de los distintos parámetros involucrados.Referencias[1] Achatz, Melanie; McCallum, Scott; Weispfenning, Volker. Deciding polynomial-exponential problems. Proc. ISSAC?08, ACM Press, New York (2008), 215?222.[2] Barbagallo, María Laura; Jeronimo, Gabriela; Sabia, Juan. Zero counting for a class of univariate Pfaffian functions. J. Algebra 452 (2016), 549?573.[3] Maignan, Aude. Solving one and two-dimensional exponential polynomial systems. Proc. ISSAC?98, New York, NY: ACM Press (1998), 215?221.[4] McCallum, Scott; Weispfenning, Volker. Deciding polynomial-transcendental problems. J. Symbolic Comput. 47 (2012), no. 1, 16?31.[5] Wolter, Helmut. On the ?problem of the last root? for exponential terms. Z. Math. Logik Grundlag. Math. 31 (1985), no. 2, 163?168.[6] Tarski, Alfred. A decision method for elementary algebra and geometry. University of California Press, Berkeley, Los Angeles, 1951.