Aproximación por elementos finitos $P_1P_1$ estabilizados para problemas de Stokes-Darcy

MARIA GABRIELA ARMENTANO; MARIA LORENA STOCKDALE

Congreso; SUMA 2016; 2016

En este trabajo estudiamos la resoluci\'on por elementos finitos $P_1P_1$ estabilizados del modelo  acoplado de las ecuaciones de Stokes y de Darcy en el plano.Estos problemas modelan la interfaz entre un fluido viscoso incompresible, gobernado por la ecuaci\'on de Stokes, y el flujo del fluido en un medio poroso, gobernado por la ecuaci\'on de Darcy, los cuales despiertan gran inter\'esdadas sus m\'ultiples aplicaciones en diversos campos, tales como la ingenier\'ia de reservorios, el transporte de contaminantes en un r\'io, etc. Asumiendo que el dominio $\Omega$  se puede descomponer como $\Omega= \Omega_p \cup \Omega_F$, siendo $\Omega_p$ la porci\'on porosa de $\Omega$ y $\Omega_F$ la porci\'on de $\Omega$ ocupada por el fluido, nuestro problema es entonces hallar la velocidad $\bf{u}$ y la presi\'on $p$ del fluido tal que:\begin{equation} \nonumber\left\{ \begin{array}{ll}\alpha  {\bf u} + \nabla p = {\bf f} &  \quad \mbox{en } \, \Omega_{P}  \\\nabla \cdot  {\bf u} = 0  & \quad \mbox{en } \, \Omega_{P} \\{\bf u} \cdot {\bf n} =  k & \quad \mbox{en }\, \Gamma_{P} \\% p = p_{a} \hspace{1 cm} \Gamma_{a P} \\- \nu  \Delta {\bf u}+ \nabla p = {\bf f}   &  \quad \mbox{en } \, \Omega_{F}  \\\nabla \cdot {\bf u} = 0  & \quad  \mbox{en } \,\Omega_{F} \\{\bf u} = {\bf g}  &  \quad \mbox{en } \, \Gamma_{F} \\%\nu \ \partial_{n} {\bf u} - p \ {\bf n} = {\bf t}_{a} \hspace{1 cm} \Gamma_{a F} \\{\bf u} \vert_{\Omega_{P}} \cdot {\bf n} = {\bf u} \vert_{\Omega_{F}} \cdot {\bf n} & \quad  \mbox{en }\, \Gamma \\- p \vert_{\Omega_{P}} {\bf n} = \nu \ \partial_{n} {\bf u} \vert_{\Omega_{F}} - p \vert_{\Omega_{F}} \ {\bf n} &  \quad \mbox{en }\,\Gamma\end{array}\right.\end{equation}siendo  $\Gamma_{P} = \partial \Omega \cap \partial \Omega_{P}$, $\Gamma_{F} = \partial \Omega \cap \partial \Omega_{F}$ y $\Gamma$ la interfase entre el fluido y el medio poroso. Los par\'ametros $\nu$ y $\alpha$ son constantes positivas y representan la viscosidad del fluido y la proporci\'on de la viscosidad sobre la permeabilidad del medio, respectivamente.Es sabido que las familias de elementos finitos estables para el problema de Stokes y de Darcy no suelen ser las mismas, siendo entonces un problema interesante la elecci\'on de espacios de elementos finitos adecuados para el problema acoplado. En este trabajo introduciremos una modificación al problema de Dracy que nos permitirá resolver el problema acoplado con $P_1P_1$ estabilizados, obteniendo aproximaciones continuas para el problem acoplado.