Estimaciones Anisotrópicas para Elementos de Nédélec Prismáticos

ARIEL LOMBARDI; ALEXIS JAWTUSCHENKO

San Luis

Congreso; Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina; 2014

Universidad Nacional de San Luis

Las soluciones de las Ecuaciones de Faraday - Maxwell, los campos el´ectrico $ extbf{E}$ y magn´etico$ extbf{B}$, presentan continuidad de componentes tangenciales $ extbf{E} imes extbf{n}$y de componentes normales $ extbf{B} cdot extbf{n}$ respectivamente. Es naturalusar elementos finitos conformes en $ extrm{H}( extbf{curl})$ para aproximar $ extbf{E}$ y en $ extrm{H}( extbf{div})$ para aproximar $ extbf{B}$. En un poliedro lassoluciones de estas ecuaciones pueden presentar singularidades en aristas o v´ertices, que degradan la convergencia de los FEMs. Una manera de recobrar el orden ´optimoconsiste en usar mallas graduadas, que son necesariamente anisotr´opicas.Consideramos los elementos emph{edge} de N´ed´elec~cite{nedelec1, nedelec2}, $ extrm{H}( extbf{curl})$-conformes, en prismas aniso-tr´o-pi-cos, y su operador de interpolaci´on$pi_k$ de grado$k$, y probamos la siguiente estimaci´on anisotr´opica y uniforme del error.Sean un prisma $K = T imes I$, donde $T$ es un tri´angulo en el plano $x_1x_2$ e $I$ es un intervaloen $x_3$, de di´ametros $(h_1,h_2,h_3) = h$ en las direcciones $x_i$, y $p>2$. Existe $C > 0$independiente de $K$ tal que para todo campo ${f u}in W^{s,p}(K)$ con ${f curl}({f u})in W^{s,p}(K)$[    |{f u}-pi_k {f u}|_{L^2(K)} le C left(    sum_{|alpha|=s}h^alpha |D^alpha{f u}|_{L^p(K)} +    h_K^{s+1}|D^s{f{curl}}({f u})|_{L^p(K)} ight).]Esto extiende resultados para tetraedros~cite{ariel, nicaise, buffacostabeldauge}y hexaedros~cite{buffacostabeldauge}, y adem´as reduce el n´umero de grados de libertadrespecto de los tetraedros.