IMAS   23417
INSTITUTO DE INVESTIGACIONES MATEMATICAS "LUIS A. SANTALO"
Unidad Ejecutora - UE
congresos y reuniones científicas
Título:
Sobre la cantidad de ceros de un E-polinomio
Autor/es:
GABRIELA JERONIMO; JUAN SABIA; MARÍA LAURA BARBAGALLO
Lugar:
La Falda, Córdoba.
Reunión:
Encuentro; VII Encuentro Nacional de Algebra.; 2014
Resumen:
Un E-polinomio en una variable con coeficientes enteros es una función de la forma P(X; e^h(X)); donde P(X; Y ) está en Z[X; Y ] y h está en Z[X]: Estas funciones son una clase particular de las llamadas funciones Pfaffianas introducidas por Khovanskii a fines de los años ?70. Un problema fundamental en la teoría de funciones Pfaffianas es el de decidir la consistencia de un conjunto definido por igualdades y desigualdades a cero de estas funciones. Para la familia de los E-polinomios, este problema es algorítmicamente decidible. Surge entonces la pregunta de decidir sobre la finitud del conjunto y, en caso afirmativo, calcular la cantidad de puntos que lo forman. En esta comunicación presentaremos un algoritmo para calcular la cantidad de ceros de un E-polinomio en un intervalo de R y en todo R. Para desarrollar este algoritmo nos inspiramos en el conocido Teorema de Sturm para polinomios, que afirma que construyendo cierta secuencia de polinomios a partir de un polinomio P y su derivado, y conociendo la cantidad de cambios de signo de esta secuencia evaluada en dos puntos a y b de R,, se puede hallar la cantidad de raíces de P en el intervalo (a; b). Nuestro método se basa en la construcción, a partir de los polinomios P y h, de una secuencia adecuada de E-polinomios en una variable, y la determinación del signo de estos E-polinomios evaluados en números reales algebraicos sobre Q. Probamos que la cantidad de ceros de P(X; e^h(X)) puede calcularse a partir de las cantidades de cambios de signo de la secuencia evaluada en un conjunto finito de puntos calculados a lo largo de nuestra construcción. Con el objeto de determinar dichos cambios de signo, desarrollamos asimismo un procedimiento algorítmico para calcular el signo de un E-polinomio en un número real algebraico sobre Q dado por su codificación de Thom.