Existencia de solución T-periódica positiva para el modelo de Nicholson generalizado con un término de recolección no lineal

P. AMSTER; A. DÉBOLI

Córdoba

Congreso; IV CONGRESO LATINOAMERICANO DE MATEMÁTICOS; 2012

En el trabajo de J. Li y C. Du [LD] se considera el modelo de dinámica poblacional conocido como modelo generalizado de Nicholson: $$ x´(t)= -delta(t)x(t) + sum_{k=1}^N P_k(t)x(\tau_k(t)) e^{-x(t-\tau_k(t))} $$ donde las funciones $delta_k, P_k, k = 1, ldots, N$ y $\tau_k$ son positivas, continuas y $T$-peri´odicas. En dicho artículo se ha probado la existencia de al menos una solución $T$-periódica positiva asumiendo que $delta(t) < sum_{k=1}^N P_k(t)$ para todo $t$. Basándonos en el trabajo [AD], extenderemos estos resultados para el modelo generalizado de Nicholson con un término no lineal $H:R\times [0,+\infty)\to [0,+infty)$ continuo, $T$-periódico en $t$ tal que $H(t,0)=0$, conocido como término de recolección o Harvesting cite{Nlk}, cite{LY}. Más precisamente, consideraremos el problema $$ x´(t)= -delta(t)x(t) + \sum_{k=1}^N P_k(t)x(t-\tau_k(t)) e^{-x(t-\tau_k(t))} - H(t,x(t)). $$ y probaremos usando teoría de grado [Ma] la existencia de al menos una solución $T$-periódica positiva asumiendo que el límite $H_{sup}(t):=limsup_{x\to 0^+} \frac{H(t,x)}x$ es uniforme en $t$ y vale $delta(t) +H_{sup}(t) < \sum_{k=1}^NP_k(t)$ para todo $t$. Referencias [AD] Amster, A. D´eboli. Existence of positive $T$-periodic solutions of a generalized Nicholson´s blowflies model with a nonlinear harvesting term. Art´iculo enviado y aceptado por Elsevier Editorial System(tm) for Applied Mathematics Letter Ms. Ref. No.: AML-D-1101397R1http://mate.dm.uba.ar/~pamster/AML.pdf [Nlk] L. Berezansky, E. Braverman, L. Idels, Nicholson's blowflies differential equations revisited: Main results and open problems. Applied Mathematical Modelling 34 (6) 1405-17. [LD] J. Li, C. Du, Existence of positive periodic solutions for a generalized Nicholson´s blowflies model, J. Comput. Appl. Math. 221 (2008) 226-233. [LY] F. Long, M. Yang, Positive Periodic Solutions of Delayed Nicholson's Blowflies Model with a Linear Harvesting Term. Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations 2011, 41, 1-11. [Ma] J. Mawhin, Topological degree methods in nonlinear boundary value problems, volume 40 of CBMS Regional Conference Series in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1979. Expository lectures from the CBMS Regional Conference held at Harvey Mudd College, Claremont, Calif., June 9--15, 1977.