Homología de Hochschild y dimensión global

ANDREA SOLOTAR

Curitiba

Conferencia; Seminario de Algebra e Geometria; 2011

Universidade Federal de Parana

Resumo: En su articulo de 1989 Happel observo que si un álgebra de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado es de dimensión global finita, entonces sus grupos de cohomologia de Hochschild se anulan en grados altos. Observo luego que la recíproca no era conocida, dando origen a la “pregunta de Happel”. La pregunta es: si los grupos de cohomologia de Hochschild de un álgebra de dimensión finita sobre un cuerpo - no necesariamente algebraicamente cerrado- se anulan a partir de cierto grado entonces el álgebra tiene dimensión global finita? La respuesta es positiva para álgebras conmutativas, según fue probado en por Avramov e Iyengar. Sin embargo, en Buchweitz, Green, Madsen y Solberg mostraron que esto no es cierto en general. La respuesta a la versión homologica de la pregunta de Happel, conjeturada por Yang Han es aun desconocida: si los grupos de homologia de Hochschild de un álgebra de dimensión finita se anulan a partir de un cierto grado, es cierto que el álgebra debe ser de dimensión global finita? Como en la versión cohomologica, la respuesta en si para álgebras conmutativas . Mas aun, la conjetura fue demostrada para clases muy amplias de álgebras no conmutativas.Por ejemplo, se sabe que la conjetura es cierta para álgebras monomiales, álgebras de Koszul, álgebras celulares y álgebras graduadas locales. En un preprint reciente de Bergh, Han y Madsen se prueba que la conjetura es cierta para las álgebras con ciclos 2-truncados, o sea ciclos en los que el producto de todo par de elementos consecutivos es cero. En otras palabras, prueban que estas álgebras tienen infinitos grupos de homologia de Hochschild no nulos. En conse-cuencia, una versión generalizada de la conjetura “no-loops"  de Igusa se verifica: las álgebras de dimensión global finita no tienen ciclos 2-truncados.