Estimadores robustos y eficientes para el modelo lineal multivariado

KUDRASZOW NADIA L.; MARONNA RICARDO A.

Mar del Plata

Congreso; Reunión Anual de la UMA; 2009

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MAR DEL PLATA

Sean y_i=(y_i1,...,y_iq)´ y x_i=(x_i1,...,x_ip)´ con i=1,...,n los vectores de las respuestas y de los predictores, respectivamente, que cumplen el modelo lineal multivariado y_i=B_0´x_i+u_i, donde B_0 es una matriz de pxq y los u_1,...,u_n son vectores aleatorios de dimensión q independientes e idénticamente distribuidos (i.i.d.). Los x_i se suponen aleatorios, i.i.d. e independientes de los u_i. Si la distribución de los u_i es normal multivariada, el estimador clásico para este modelo es el estimador de máxima verosimilitud (EMV) de B_0 que se obtiene aplicando mínimos cuadrados a cada una de las respuestas separadamente, y el EMV de la matriz de covarianzas V_0 es la matriz de covarianzas muestral de los residuos. Sin embargo se sabe que este estimador es extremadamente sensible a observaciones atípicas. Por eso, se han investigado varias alternativas robustas, aunque sólo unos pocos de los estimadores propuestos conservan las propiedades de equivarianza y tienen una alta eficiencia bajo el modelo normal. Para cubrir ambas necesidades presentamos a los MM-estimadores para regresión lineal multivariada. Los MM-estimadores para regresión lineal univariada fueron introducidos por Yohai (1987) para combinar robustez y eficiencia en el caso univariado. La extensión al caso multivariado se realizó de la siguiente manera. Sea (A_n,W_n) (con |W_n|=1) un estimador inicial de (B_0,V_0) con alto punto de ruptura aunque posiblemente ineficiente. Definimos las distancias d_i^2(B,V)=(y_i-{B´x}_i)´V^{-1}(y_i-{B´x}_i).  Sea  s_n un M-estimador de escala de d_i(A_n,W_n), con i=1,..,n, basado en una "función-rho", r_0. Sea r_1 otra función-rho tal que r_1 es menor o igual que r_0. Entonces el MM-estimador de regresión multivariado (B_n,V_n) está dado por (B_n,C_n)=argmin{sum_{i=1}^{n} r_1(d_i(B,C)/s_n)  : B es una matriz de pxq y C es una matriz simétrica y definida positiva de dimensión q con determinante 1} y V_n=(s_n)^2 C_n. Probamos que estos estimadores tienen punto de ruptura asintóticamente 0.5, eficiencia asintótica bajo errores normales y son asintóticamente normales. Formulamos un algoritmo numérico convergente y comparamos el desempeño de los MM-estimadores con el de otros estimadores robustos. Referencias:  [1] Yohai V. (1987). High Breakdown-point and high efficiency estimates for regression, The Annals of Statistics, 15, 642-656.