Calificación y Saturación de Métodos de Regularización: Resultados Recípocos y Aplicaciones a Problemas de Restauración de Imágenes

GISELA L MAZZIERI, RUBEN D SPIES Y KARINA G TEMPERINI

universidad Nacional de San Luis

Congreso; XVII Congreso sobre Métodos Numéricos y sus Aplicaciones (ENIEF); 2008

AMCA-UNS

En 1994 A. Neubauer ([3]) demostró que ciertos métodos de regularización espectrales para problemas inversos mal condicionados “saturan”, es decir, a partir del conocimiento de un cierto grado de regularidad sobre la solución exacta del problema, son incapaces de continuar extrayendo información sobre la misma, independientemente de las hipótesis adicionales que se impongan. Neubauer introdujo entonces por primera vez la idea del concepto de “saturación” para métodos de regularización. En esencia esta idea refiere al mejor orden de convergencia del error total que un método puede alcanzar independientemente de los supuestos de regularidad sobre la solución exacta y de la selección de la regla de elección de parámetros. En 2007 Spies y Temperini ([4]) desarrollaron una teoría general de saturación global para métodos de regularización arbitrarios (espectrales o no), dentro de la cual fue posible definir adecuadamente el concepto de saturación de un método de regularización formalizando la idea original e intuitiva del mismo como la máxima eficiencia que puede alcanzar dicho método, cualquiera sea la información de la que se disponga sobre la solución del problema.  Relacionado de una manera dual al concepto de saturación está el concepto de calificación de un método de regularización espectral. Inicialmente introducido por Mathé y Pereverzev en el año 2003 ([2]) este concepto está fuertemente asociado con el orden de convergencia óptimo del error de regularización bajo ciertos supuestos “a-priori” acerca de la solución exacta. En 2008, Herdman et al. ([1]) generalizaron el concepto de calificación e introdujeron tres niveles jerárquicos de este concepto: débil, fuerte y óptimo.  En este trabajo se mostrarán varios resultados recíprocos derivados de estas teorías como así también diversos resultados numéricos sobre los conceptos de saturación y calificación fuerte y óptima aplicados a problemas inversos en reconstrucción de imágenes degradadas.