Sobre la No Convergencia del Método de Mínimos Cuadrados

KARINA TEMPERINI Y RUBEN SPIES

Universidad Nacional de Salta

Congreso; Reunión Anual de Comunicaciones Científicas de la UMA; 2005

Unión Matemática Argentina

Un metodo estandar para resolver un problema inverso Ax = b, donde A : X ! Y  es un operador lineal y continuo, X y Y  son espacios de Hilbert y b es un dato conocido, es la estimacion de m³nimos cuadrados. Dada una sucesion creciente fXNg de subespacios de X de dimension ¯nita cuya union es densa en X, xN  es una solucion de m³nimos cuadrados en XN  si minimiza kAx ¡ bk2 para x 2 XN. Es sabido que sin supuestos adicionales, en problemas mal condicionados no se puede garantizar que xN ! A¡1b cuando N ! 1. As¶³, por ejemplo, si X es un espacio de Hilbert separable de dimension in¯nita, ¯ = feng una base ortonormal de X y XN =spanfe1; :::; eNg, entonces existen un operador lineal A : X ! X compacto, inyectivo, autoadjunto de rango denso, y b 2 R(A) tal que la norma de xN ¡ A¡1b  tiende a 1. En este trabajo se demuestra que dados X, ¯ y XN  como antes, entonces para todo b 2 X que no sea combinacion lineal ¯nita de elementos de ¯, existe un operador A : X ! X compacto, inyectivo, autoadjunto y de rango denso tal que b 2 R(A) y las soluciones de m³nimos cuadrados de Ax = b en XN  se alejan de la solucion exacta con cualquier velocidad arbitrariamente grande pre¯jada. Tambien se prueba que b no es el unico elemento de R(A) que veri¯ca esa condicion.