Backus-Gilbert, Inversa Aproximada y Métodos de Filtro para Problemas Inversos Mal Condicionados

GISELA L MAZZIERI, RUBEN D SPIES Y KARINA G TEMPERINI

Universidad Nacional de Córdoba

Congreso; I Congreso de Matemática Aplicada, Computacional e Industrial, MACI 2007 y XVI Congreso sobre Métodos Numéricos y sus Aplicaciones, ENIEF 2007; 2007

FAMAF, Univ. Nac. de Córdoba, Asociación Argentina de Mecánica Computacional AMCA y Sección Argentina de SIAM, AR-SIAM

Ecuaciones integrales de Fredholm de primera clase surgen de manera natural en el modelado de una gran variedad de problemas tales como procesamiento de señales e imágenes, transferencia de calor, reología, fluorescencia, etc.. Es bien sabido que, excepto en los casos en que el núcleo de la ecuación integral es degenerado, el problema inverso asociado a dicha ecuación es mal condicionado. Si bien existen varios métodos para resolver este tipo de problemas (Tikhonov –Phillips, TSVD, métodos iterativos, etc.), la discretización de la ecuación, resultante de la evaluación del núcleo sobre una cierta grilla, deriva en un “problema de momentos”. Un método frecuentemente utilizado para resolver este problema fue propuesto en el año 1968 por los geofísicos G. Backus y F. Gilbert ([1], [2]). En un contexto más general, A. K. Louis y P. Maass ([3], [4]) propusieron en 1990 un método de regularización que permite calcular una versión molificada de la solución de cualquier problema inverso mal condicionado. Este método se conoce como método de la inversa aproximada. En este trabajo se analizan las relaciones existentes entre ambos métodos. Se muestra que, bajo ciertas condiciones, el método de Backus–Gilbert  es un caso particular del método de la inversa aproximada. Asimismo se analizan éstos y otros métodos de regularización en el contexto de métodos de filtro generales. Finalmente se presentan varios ejemplos numéricos y se comparan los resultados obtenidos con los diferentes métodos para datos con y sin ruido.   Referencias: [1] Backus G. and Gilbert F., The resolving power of gross earth data, Gheophys. J. R. Astron. Soc. 16, 169 – 205, 1968. [2] A. Kirsch, B. Schomburg and G. Berendt,  The Backus – Gilbert method, Inverse Problems 4, 771 – 783, 1988. [3] A. K. Louis and P. Maass, A mollifier method for linear operator equations of the first kind, Inverse Problems 6, 427 – 440, 1990. [4] A. K. Louis, Approximate inverse for linear and some nonlinear problems, Inverse Problems 12,  175 – 190, 1996.