Regularización de Problemas Inversos en Escalas de Hilbert Múltiples

G. MAZZIERI; RUBEN D. SPIES

San Miguel de Tucumán

Congreso; Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina, LXI Reunión de comunicaciones científicas; 2011

Unión Matemática Argentina, UNT

Sean X, Y espacios de Hilbert, T in L(X;Y), R(T) no cerrado, y in Y. Es bien sabido que bajo estas hipótesis el problema de hallar x en la ecuación Tx = y (1) es mal condicionado en el sentido de Hadamard pues T+, la inversa generalizada de Moore-Penrose de T, no es acotada. Una de las formas más usuales para obtener soluciones regularizadas de (1) consiste en la aplicación del método de Tikhonov-Phillips. Cuando en este método se utilizan penalizantes asociados a seminormas inducidas por operadores diferenciales, el mismo puede formularse como el problema de minimizar el siguiente funcional Jalpha;L(x) := ||Tx - y||^2 + alpha||x||^2; (2) donde alpha > 0 y L : D(L) ½ subset X ---> Z es un operador lineal, cerrado, densamente definido sobre un espacio de Hilbert Z. Bajo ciertas condiciones sobre los operadores T y L puede probarse que (2) tiene un único minimizante global x_alpha que converge (para alpha o 0+) en la norma del grafo de L a la solución de mínimos cuadrados de mínima ||L cdot|| seminorma. La utilización de este método está claramente supeditada al conocimiento de que el problema (1) tenga soluciones en D(L). En ausencia de esta información y en el caso L > 0 las escalas de Hilbert ([1], [2]) introducidas originariamente por Natterer ([4]) proveen de una alternativa para obtener soluciones regularizadas de (1) en dominios de potencias fraccionarias de L, las cuales convergen a la solución exacta en una norma más debil. En este trabajo presentaremos las escalas de Hilbert múltiples ([3]) definidas por N operadores diferenciales L1,L2, ..., LN y resultados de existencia, unicidad y convergencia de soluciones regularizadas del problema (1) en estas escalas.X, Y espacios de Hilbert, T in L(X;Y), R(T) no cerrado, y in Y. Es bien sabido que bajo estas hipótesis el problema de hallar x en la ecuación Tx = y (1) es mal condicionado en el sentido de Hadamard pues T+, la inversa generalizada de Moore-Penrose de T, no es acotada. Una de las formas más usuales para obtener soluciones regularizadas de (1) consiste en la aplicación del método de Tikhonov-Phillips. Cuando en este método se utilizan penalizantes asociados a seminormas inducidas por operadores diferenciales, el mismo puede formularse como el problema de minimizar el siguiente funcional Jalpha;L(x) := ||Tx - y||^2 + alpha||x||^2; (2) donde alpha > 0 y L : D(L) ½ subset X ---> Z es un operador lineal, cerrado, densamente definido sobre un espacio de Hilbert Z. Bajo ciertas condiciones sobre los operadores T y L puede probarse que (2) tiene un único minimizante global x_alpha que converge (para alpha o 0+) en la norma del grafo de L a la solución de mínimos cuadrados de mínima ||L cdot|| seminorma. La utilización de este método está claramente supeditada al conocimiento de que el problema (1) tenga soluciones en D(L). En ausencia de esta información y en el caso L > 0 las escalas de Hilbert ([1], [2]) introducidas originariamente por Natterer ([4]) proveen de una alternativa para obtener soluciones regularizadas de (1) en dominios de potencias fraccionarias de L, las cuales convergen a la solución exacta en una norma más debil. En este trabajo presentaremos las escalas de Hilbert múltiples ([3]) definidas por N operadores diferenciales L1,L2, ..., LN y resultados de existencia, unicidad y convergencia de soluciones regularizadas del problema (1) en estas escalas. Referencias [1] H. W. Engl, M. Hanke and A. Neubauer, Regularization of inverse problems, Mathematics and its Applications, vol. 375, Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1996. [2] S. G. Krein and Ju. I. Petunin, Scales of Banach spaces, Uspehi Mat.Nauk 21 (1966), no. 2 (128), 89-168. [3] G. L. Mazzieri and R. D. Spies, Regularization methods in multiple Hilbert scales, 2011, in preparation. [4] F. Natterer, Error bounds for Tikhonov regularization in Hilbert scales, Applied Analysis, vol. 18, 1984, pp. 29-37. [4] F. Natterer, Error bounds for Tikhonov regularization in Hilbert scales, Applied Analysis, vol. 18, 1984, pp. 29-37. [3] G. L. Mazzieri and R. D. Spies, Regularization methods in multiple Hilbert scales, 2011, in preparation. [4] F. Natterer, Error bounds for Tikhonov regularization in Hilbert scales, Applied Analysis, vol. 18, 1984, pp. 29-37. [4] F. Natterer, Error bounds for Tikhonov regularization in Hilbert scales, Applied Analysis, vol. 18, 1984, pp. 29-37. [2] S. G. Krein and Ju. I. Petunin, Scales of Banach spaces, Uspehi Mat.Nauk 21 (1966), no. 2 (128), 89-168. [3] G. L. Mazzieri and R. D. Spies, Regularization methods in multiple Hilbert scales, 2011, in preparation. [4] F. Natterer, Error bounds for Tikhonov regularization in Hilbert scales, Applied Analysis, vol. 18, 1984, pp. 29-37. [4] F. Natterer, Error bounds for Tikhonov regularization in Hilbert scales, Applied Analysis, vol. 18, 1984, pp. 29-37. [3] G. L. Mazzieri and R. D. Spies, Regularization methods in multiple Hilbert scales, 2011, in preparation. [4] F. Natterer, Error bounds for Tikhonov regularization in Hilbert scales, Applied Analysis, vol. 18, 1984, pp. 29-37. [4] F. Natterer, Error bounds for Tikhonov regularization in Hilbert scales, Applied Analysis, vol. 18, 1984, pp. 29-37. Regularization of inverse problems, Mathematics and its Applications, vol. 375, Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1996. [2] S. G. Krein and Ju. I. Petunin, Scales of Banach spaces, Uspehi Mat.Nauk 21 (1966), no. 2 (128), 89-168. [3] G. L. Mazzieri and R. D. Spies, Regularization methods in multiple Hilbert scales, 2011, in preparation. [4] F. Natterer, Error bounds for Tikhonov regularization in Hilbert scales, Applied Analysis, vol. 18, 1984, pp. 29-37. [4] F. Natterer, Error bounds for Tikhonov regularization in Hilbert scales, Applied Analysis, vol. 18, 1984, pp. 29-37. [3] G. L. Mazzieri and R. D. Spies, Regularization methods in multiple Hilbert scales, 2011, in preparation. [4] F. Natterer, Error bounds for Tikhonov regularization in Hilbert scales, Applied Analysis, vol. 18, 1984, pp. 29-37. [4] F. Natterer, Error bounds for Tikhonov regularization in Hilbert scales, Applied Analysis, vol. 18, 1984, pp. 29-37. Scales of Banach spaces, Uspehi Mat.Nauk 21 (1966), no. 2 (128), 89-168. [3] G. L. Mazzieri and R. D. Spies, Regularization methods in multiple Hilbert scales, 2011, in preparation. [4] F. Natterer, Error bounds for Tikhonov regularization in Hilbert scales, Applied Analysis, vol. 18, 1984, pp. 29-37. [4] F. Natterer, Error bounds for Tikhonov regularization in Hilbert scales, Applied Analysis, vol. 18, 1984, pp. 29-37. Regularization methods in multiple Hilbert scales, 2011, in preparation. [4] F. Natterer, Error bounds for Tikhonov regularization in Hilbert scales, Applied Analysis, vol. 18, 1984, pp. 29-37.Error bounds for Tikhonov regularization in Hilbert scales, Applied Analysis, vol. 18, 1984, pp. 29-37.