Diffusion in inverse problems

RUBEN SPIES

Santa Fe

Seminario; Seminarios del IMAL MAcías-Segovia; 2023

Instituto de Matemática Aplicada del Litoral IMAL

En esta presentación haremos primero una breve reseña sobre algunos problemas inversos y algunas ideas recientes (y no tan recientes) para abordar ciertos problemas mediante el diseño demétodos de regularización ad-hoc. Luego abordaremos un problema que tiene su origen en el área de diseño de materiales térmicos meta-materiales. En los últimos años, los ingenieros se han preguntado si es posible, y en tal caso hasta qué grado, manipular el flujo térmico en un material adaptando y variando su composición. El problema que abordaremos aquí, consiste en determinar un perfil de conductividad térmica no homogéneo en un problema de valores en la frontera de conducción de calor en estado estacionario con condiciones de frontera mixtas de Dirichlet-Neumann sobre un dominio acotado en Rn, a partirdel conocimiento del estado (observado o deseado) sobre todo el dominio. Desarrollaremos un método basado en un enfoque variacional que conduce a una ecuación de optimalidad. La discretización de esa ecuación genera una ecuación lineal aunque severamente mal condicionada que luego se regularizaa través de penalizantes ad-hoc apropiados que dan como resultado un funcional generalizado de Tikhonov-Phillips. No se impone minguna condición de suavidad sobre el perfil de conductividad.Ejemplos numéricos para el caso en que la conductividad puede tomar solo dos valores prescritos (un caso de dos materiales) muestran que el enfoque es capaz de producir muy buenas reconstrucciones de la solución exacta.Hablaremos sobre problemas abiertos y otros sobre los cuales estamos trabajando actualmente.