Acotando el número de soluciones positivas de sistemas polinomiales multivariados

A DICKENSTEIN

Conferencia; Cibercoloquio Latinoamericano de Matemáticas; 2020

Laregla de los signos de Descartes para polinomios reales de una variable es unahermosa y muy simple cota superior para el número de raíces positivas,formulada por René Descartes en 1637. Más aún, da el número exacto de raícespositivas cuando todas las raíces son reales, por ejemplo en el caso depolinomios característicos de matrices simétricas. En mi charla intentaréexplicar que una regla de Descartes multivariada es mucho más compleja y aúnelusiva: no hay siquiera una conjetura de cuál podría ser esta regla.Describiré el resultado parcial que obtuvimos recientemente en colaboración conFrédéric Bihan y Jens Forsgård, que muestra en particular que la combinatoriade los exponentes de los polinomios restringe el número de raíces positivas.