Elementos Finitos en Dominios no-Lipschitz

MARÍA G. ARMENTANO

FaMAF - Universidad Nacional de Córdoba, Córdoba, Argentina

Congreso; Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina; 2007

El método de elementos finitos ha sido ampliamente estudiado en sus diferentes variantes para toda clase de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Sin embargo, todos los análisis se restringían a dominios poligonales o dominios curvos con borde suave y no se ten´ýan resultados para el caso en que el dominio  no fuese Lipschitz. Como un primer paso al análisis del método de elementos finitos en dominios no-Lipschitz consideramos el caso de un dominio en el plano con una cúspide exterior. Estudiamos la ecuación de Poisson, con condiciones de Neumann no-homogeneas, y el problema del  cálculo de autovalores del Laplaciano en dicho dominio. Una forma natural de aproximar la solución es aproximar el dominio original por una dominio poligonal y resolver utilizando elementos finitos standard de grado uno. Ejemplos numéricos muestran que, aún cuando la solución es regular (situación que se tiene bajo apropiadas condiciones en los datos, ver [AADL1, G, K]) no se obtiene orden  óptimo si se utilizan mallas quasi-uniformes (ver [AADL2]). La razón de este comportamiento se debe a que muchos de los resultados cl´asicos en espacios de Sobolev (tales como los teoremas de trazas, extensi´on e inmersi´on), que son fundamentales al analizar las ecuaciones diferenciales en su forma variacional, no son válidos en esta clase de dominios. En [AADL2] mostramos que una función en H^2 puede extenderse a una función en un espacio de Sobolev con peso, donde el peso es una potencia de la distancia a la cúspide. Valiendonos de esta extensión mostramos que el orden  óptimo puede recuperarse usando mallas graduadas apropiadamente [AADL2, AA]. Referencias: [AA] G. Acosta and M. G. Armentano, Eigenvalue problems in a non-Lipschitz domain, preprint, 2007. [AADL1] G. Acosta, M. G. Armentano, R. G. Dur´an and A. L. Lombardi, Nonhomogeneous Neumann problem for the Poisson equation in domains with an external cusp, Journal of Mathematical Analysis and Applications 310(2), pp. 397?411, 2005.                                                                                                             [AADL2] G. Acosta, M. G. Armentano, R. G. Dur´an and A. L. Lombardi, Finite element approximations in a non-Lipschitz domain, SIAM Journal on Numerical Analysis, (45)(1), pp 277-295, 2007.                                    [G] P. Grisvard, Elliptic Problems in Nonsmooth Domains, Pitman, Boston, 1985.                                                    [K] A. Khelif, Equations aux derivees partiellles, C.R. Acad. Sc. Paris 287, 1113-1116, 1978. Referencias: [AA] G. Acosta and M. G. Armentano, Eigenvalue problems in a non-Lipschitz domain, preprint, 2007. [AADL1] G. Acosta, M. G. Armentano, R. G. Dur´an and A. L. Lombardi, Nonhomogeneous Neumann problem for the Poisson equation in domains with an external cusp, Journal of Mathematical Analysis and Applications 310(2), pp. 397?411, 2005.                                                                                                             [AADL2] G. Acosta, M. G. Armentano, R. G. Dur´an and A. L. Lombardi, Finite element approximations in a non-Lipschitz domain, SIAM Journal on Numerical Analysis, (45)(1), pp 277-295, 2007.                                    [G] P. Grisvard, Elliptic Problems in Nonsmooth Domains, Pitman, Boston, 1985.                                                    [K] A. Khelif, Equations aux derivees partiellles, C.R. Acad. Sc. Paris 287, 1113-1116, 1978.