Una expresión para las semimétricas de corte y algunas aplicaciones

MORILLAS PATRICIA MARIELA

Río Cuarto, Córdoba, Argentina.

Otro; LIII Reunión Anual de Comunicaciones Científicas; 2003

Unión Matemática Argentina

Dado V Í { 1, ..., n }, se llama semimétrica de corte, y se denota con DV, a la matriz de orden n definida por DV( i, j ) = 1 si | V Ç { i, j } | = 1 y DV( i, j ) = 0 en otro caso. El conjunto formado por las semimétricas de corte coincide con el conjunto de matrices de lp- distancia ( y también de l- distancia ) de entradas 0 y 1 con dimensión de inmersión 1. Se llama cono de corte, y se denota con CUTn, al cono generado por las semimétricas de corte. CUTn coincide con el conjunto de matrices de l1- distancia. El concepto de semimétrica de corte es central en las diferentes áreas de la matemática discreta. También aparece en otras disciplinas matemáticas y sus aplicaciones, por ejemplo, mecánica cuántica, física estadística, análisis y probabilidad. La gran versatilidad de las semimétricas de corte (también llamadas métricas de separación, o disimilitudes, o métricas binarias ) se debe a las diferentes interpretaciones que se les puede dar [2]. En los trabajos que encontramos sobre las semimétricas de corte observamos que los argumentos que se usan para demostrar los diferentes resultados se basan o bien en la definición de las semimétricas de corte ( ver por ejemplo [2] ), o bien interpretándolas como matrices de lp- distancia de 0 y 1 con dimensión de inmersión 1 y considerando las propiedades de las configuraciones de puntos a ellas asociadas ( ver por ejemplo [1] ). En este trabajo se introduce una expresión para las semimétricas de corte y se usa para estudiar algunos problemas. Concretamente, dado V Í { 1, ..., n } si definimos eV Î IRn como eV( j ) = 1 si j Î V y eV( j ) = 0 si j Ï V (tal vector suele denominarse en la literatura vector de incidencia de V ), la semimétrica de corte asociada a V es DV = eV ( e - eV )t + ( e - eV ) eV t = eV et + e eV t - 2 eV eV t. donde e = ( 1, ..., 1 )t. Usando la expresión anterior se estudia: - Espacios fundamentales, autovalores y autovectores de las semimétricas de corte. - Imagen de CUTn bajo la transformación lineal ts. - Productos de Frobenius y de Hadamard cuando intervienen semimétricas de corte. (Por ejemplo, en relación al producto de Frobenius, se establecen ciertas cotas que resultan útiles para conocer cuándo determinadas matrices de ciertas familias están o no en el polar de CUTn). - El ángulo que forman las matrices de CUTn con la matriz E. - Descripción lineal de CUTn y de su polar. - Cálculo de la proyección de ciertas matrices sobre CUTn. Referencias Argiroffo G. (2001). Matrices de distancia. Tesis de Maestría en Matemática Aplicada. Universidad Nacional de Rosario. Argiroffo G. (2001). Matrices de distancia. Tesis de Maestría en Matemática Aplicada. Universidad Nacional de Rosario. 2. Deza M. M., Laurent M. (1997). Geometric of Cuts and Metrics. Springer.