Existencia y unicidad de las soluciones estacionarias de la ecuación del calor semi-lineal por medio de homotopías

EZEQUIEL DRATMAN; GUILLERMO MATERA

Bahía Blanca

Congreso; VIII Congreso Dr. Alberto Monteiro; 2005

Universidad Nacional del Sur

Esta comunicación trata sobre las aproximaciones numéricas de las soluciones estacionarias simétricas de la ecuación del calor semi-lineal con condiciones de borde de tipo Neumann no lineales. Es sabido que, si p > 2q-1, entonces existe una única solución positiva de este problema. A pesar de esto, muy poco se conoce acerca de las soluciones de las correspondientes discretizaciones. Nosotros demostramos que la discretización de este problema que se obtiene considerando un esquema de diferencias finitas de segundo orden, tiene una única solución real positiva. Cabe destacar que las soluciones de esta discretización son las soluciones de un tipo de sistemas polinomiales que posee una cantidad exponencial de soluciones complejas, y por ende está "mal condicionado" desde el punto de vista de la resolución semi-numérica mediante algoritmos universales. La demostración de existencia y unicidad se basa en el análisis de una deformación "suave" de la discretización, que proviene a su vez de una deformación del problema continuo original. Creemos que dicha homotopía puede ser útil a efectos de diseñar un método de continuación eficiente que permita aproximar la única solución positiva de la discretización.