Una torre de tipo Artin-Schreier asintoticamente mala con genero finito

HORACIO NAVARRO

Bahía Blanca

Conferencia; XIII Congreso Antonio Monteiro; 2015

Universidad Nacional del Sur

Sea $_q$ un cuerpo finito con $q$ elementos. Una torre de cuerposde funciones sobre $_q$ es una sucesión de cuerpos de funciones$F=(F_0,F_1,dots)$ que satisface para todo $igeq 0$ que $ F_isubsetneq F_{i+1}$, $F_{i+1}/F_i$ es una extensión finita yseparable, el cuerpo total de constantes de $F_i$ es $_q$ y quealgún cuerpo defunciones $F_j$ tiene género mayor a uno.\Una torre $F=(F_0,F_1,dots)$ sobre $_q$ se dice asintóticamentebuena si $gamma(F)0$ donde$$gamma(F):=lim_{iightarrow infty}g(F_i)/[F_i:F_0] ext{ quad y quad}u(F):=lim_{iightarrow infty } N(F_i)/[F_i:F_0],$$ $g(F_i)$denota el género de $F_i/_q$ y $N(F_i)$ denota el número delugares racionales de$F_i/_q$. En caso contrario decimos que $F$ es asintóticamente mala. \En el trabajo $cite{BGS}$ los autores muestran que cualquier torrerecursiva de cuerpos de funciones sobre $_2$ definida por$g(Y)=f(X)$ con $g(T), f(T) in _2(T)$ y $deg f=deg g=2$ enrealidad está definida por una ecuación de tipo Artin-Schreier asaber$$Y^2+Y=rac{1}{(1/X)^2+(1/X)+b}+c,$$con $b,c in _2$ y que el en caso $b=c=1$ no se conoce elcomportamiento asintóticode la torre sobre $_{2^s}$, con $s$ entero positivo.\En esta charla se mostrará que la sucesión de cuerpos de funciones $F=(F_0,F_1,dots)$ sobre $_{2^s}$, con $s$ entero positivo,definida recursivamente por la ecuación$$Y^2+Y=rac{X+1}{X^2+X+1}$$ es una torre de génerofinito ($gamma(F)