Análisis espectral de un operador de diferenciación fraccionaria y convergencia puntual al dato inicial para un problema de Schrödinger asociado

AIMAR HUGO; BONGIOANNI BRUNO;GÓMEZ IVANA

Rosario

Congreso; Reunión Anual de la UMA; 2013

Unión Matemática Argentina

Los m´etodos de wavelets permiten abordar problemas no locales de derivaci´on fraccionaria en los que eln´ucleo $|x-y|^{-(1+eta)}$, $0<eta<1$, se sustituye por $delta(x,y)^{-(1+eta)}$ donde $delta$ es la distancia di´adica.En el caso unidimensional este n´ucleo es el del operador cuya forma espectral es diagonal en la base de Haar y los correspondientes autovalores son lapotencia $eta$ de la escala, es decir, $D^eta h^j_k=2^{jeta}h^j_k$, donde $D^eta$ denota la derivaci´on fraccionaria de orden $eta$ asociada ala distancia di´adica en $mathbb{R}^{+}$. A partir de este an´alisis espectral probamos una f´ormula de sumabilidad para el n´ucleo $D^eta$ en t´erminos dela base de Haar.Por otro lado, la identificaci´on de los espacios de funciones con baja regularidad para los cuales la convergencia puntual al dato inicial para las soluciones de la ecuaci´onde Schr"{o}dinger de part´icula libre dependiente del tiempo, es un problema dif´icil. En dimensi´on uno Carleson, cite{Carleson80}, prob´o  la convergencia en casi todopunto para un dato inicial en el espacio $H^s$ cuando $sgeq frac{1}{4}$. Ver tambi´en cite{DaKe82}, entre otros trabajos.En cite{AiBoGojmaa13} estudiamos la convergencia puntual al dato inicial para ecuaciones de tipo Schr"{o}dinger con operador de derivaci´on fraccionaria dado por$D^eta$, y probamos la convergencia puntual con dato en espacios de regularidad Besov.{small egin{thebibliography}{99}ibitem{AiBoGojmaa13} Hugo Aimar, Bruno Bongioanni, and Ivana G{´o}mez, emph{On dyadic nonlocal {S}chr"odinger equations with {B}esov              initial data}. J. Math. Anal. Appl., vol.~407, no.~1, 2013, pp.~23--34.ibitem{Carleson80}Lennart Carleson, emph{Some analytic problems related to statistical  mechanics}, Euclidean harmonic analysis ({P}roc. {S}em., {U}niv. {M}aryland,  {C}ollege {P}ark, {M}d., 1979), Lecture Notes in Math., vol. 779, Springer,  Berlin, 1980, pp.~5--45.ibitem{DaKe82}Bj{"o}rn E.~J. Dahlberg and Carlos~E. Kenig, emph{A note on the almost  everywhere behavior of solutions to the {S}chr"odinger equation}, Harmonic  analysis ({M}inneapolis, {M}inn., 1981), Lecture Notes in Math., vol. 908,  Springer, Berlin, 1982, pp.~205--209.end{thebibliography}}