Optimización sobre funciones convexas

N. AGUILERA; P. MORIN

Bahía Blanca

Congreso; LVI Reunión Anual de la UMA; 2006

Unión Matemática Argentina

Muchos problemas de interés tanto teórico como práctico involucran encontrar el óptimo sobre una familia de funciones convexas. Por ejemplo, encontrar la proyección de una función en $H^k(Omega)$ sobre las convexas de ese espacio, o en economía, encontraregin{equation}label{economia}   max_{uinmathcal{D}}      int_Q igl(         abla u(x) cdot x - u(x) - c, lvert abla u vert^2         igr) ,f(x), d{x},end{equation}donde $Q = [0,1]^d$, $c$ es una constante no negativa,$f$ es una función no negativa,y $mathcal{D}$ son las funciones convexas sobre $Q$ que satisfacen restricciones adicionales sobre el gradiente.En el caso continuo y suponiendo suavidad, las restricciones de convexidad pueden darse pidiendo que el Hessiano sea semi-definido positivo, pero al hacer aproximaciones discretas surgen dos problemas: las soluciones pueden no ser suaves (como es el caso en~eqref{economia} si $c = 0$), y las funciones con Hessiano discreto semi-definido positivo pueden no ser convexas en el sentido discreto.Es así que algunos autores han trabajado con descripciones no locales que hacen que la cantidad de restricciones crezca en dos dimensiones como $N^{1.8}$ siendo $N$ el número de nodos de la malla, y siendo muy difícil de generalizar a más dimensiones.En este trabajo proponemos una aproximación en diferencias finitas usando un Hessiano discreto apropiado, que nos permite demostrar convergencia bajo condiciones generales, aún cuando la solución continua no sea suave, trabajando en cualquier dimensión, con $O(N)$ restricciones.Usando códigos de programación Semi Definida Positiva (SDP), mostramos ejemplos concretos de aproximaciones a algunos de los problemas mencionados.