Convergencia de la Inversa Aproximada en Espacios L2

ADRIANA RAMOS; RUBEN D. SPIES

San Miguel de Tucumán

Congreso; Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina, LXI Reunión de comunicaciones científicas; 2011

Unión Matemática Argentina, UNT

Matemáticamente, un problema inverso se describe a menudo a través de una ecuación de la forma Af = g (1) donde A in L(X;Y), con X,Y espacios normados. Tipicamente estos operadores tienen inversas no acotadas o no son invertibles. Si X,Y son espacios de Hilbert, entonces siempre es posible definir la inversa generaliza da A+ de A, cuyo dominio es denso en Y . Pero A+ es acotada si y solo si R(A) es cerrado, lo que nunca ocurre si A es compacto y dim R(A) = infty. En estos casos, resolver en forma estable el problema (1) requiere de los llamados métodos de regularización. Durante las últimas décadas se han desarrollado y estudiado muchas técnicas de regularización tales como la descomposición en valores singulares truncada, los métodos de Tikhonov-Phillips y diversos métodos iterativos tales como el de Landwever y el método del gradiente conjugado, para nombrar solo los mas populares. El método de la inversa aproximada es una poderosa herramienta de regularización que utiliza el operador adjunto y ciertos "molificadores" para construir aproximaciones en términos de los llamados "núcleos de reconstrucción" que son capaces de atenuar el efecto de las componentes de alta frecuencia en la solución. Estos núcleos de reconstrucción son independientes del dato y pueden ser precalculados. Otra ventaja del método es que, para problemas en grandes dimensiones, resulta una excelente alternativa a los métodos iterativos pues su implementación computacional es fácilmente paralelizable. Este método fue introducido por primera vez en 1990 por Louis y Maass ([1]) quienes posteriormente también estudiaron algunas de sus propiedades fundamentales ([2], [3]). En este trabajo se presentarán resultados de convergencia para la inversa aproximada para el caso de operadores A : L2(­Omega_1; mu_1)  o  L2(­Omega_2; mu_2) lineales y acotados. Mostraremos que bajo ciertas hipótesis de integrabilidad del núcleo de reconstrucción la inversa aproximada converge a la solución de mínimos cuadrados de mínima norma del problema (1). También se extenderán las definiciones y algunos resultados al caso de espacios de Banach generales. En este trabajo se presentarán resultados de convergencia para la inversa aproximada para el caso de operadores A : L2(­Omega_1; mu_1)  o  L2(­Omega_2; mu_2) lineales y acotados. Mostraremos que bajo ciertas hipótesis de integrabilidad del núcleo de reconstrucción la inversa aproximada converge a la solución de mínimos cuadrados de mínima norma del problema (1). También se extenderán las definiciones y algunos resultados al caso de espacios de Banach generales. Af = g (1) donde A in L(X;Y), con X,Y espacios normados. Tipicamente estos operadores tienen inversas no acotadas o no son invertibles. Si X,Y son espacios de Hilbert, entonces siempre es posible definir la inversa generaliza da A+ de A, cuyo dominio es denso en Y . Pero A+ es acotada si y solo si R(A) es cerrado, lo que nunca ocurre si A es compacto y dim R(A) = infty. En estos casos, resolver en forma estable el problema (1) requiere de los llamados métodos de regularización. Durante las últimas décadas se han desarrollado y estudiado muchas técnicas de regularización tales como la descomposición en valores singulares truncada, los métodos de Tikhonov-Phillips y diversos métodos iterativos tales como el de Landwever y el método del gradiente conjugado, para nombrar solo los mas populares. El método de la inversa aproximada es una poderosa herramienta de regularización que utiliza el operador adjunto y ciertos "molificadores" para construir aproximaciones en términos de los llamados "núcleos de reconstrucción" que son capaces de atenuar el efecto de las componentes de alta frecuencia en la solución. Estos núcleos de reconstrucción son independientes del dato y pueden ser precalculados. Otra ventaja del método es que, para problemas en grandes dimensiones, resulta una excelente alternativa a los métodos iterativos pues su implementación computacional es fácilmente paralelizable. Este método fue introducido por primera vez en 1990 por Louis y Maass ([1]) quienes posteriormente también estudiaron algunas de sus propiedades fundamentales ([2], [3]). En este trabajo se presentarán resultados de convergencia para la inversa aproximada para el caso de operadores A : L2(­Omega_1; mu_1)  o  L2(­Omega_2; mu_2) lineales y acotados. Mostraremos que bajo ciertas hipótesis de integrabilidad del núcleo de reconstrucción la inversa aproximada converge a la solución de mínimos cuadrados de mínima norma del problema (1). También se extenderán las definiciones y algunos resultados al caso de espacios de Banach generales.A : L2(­Omega_1; mu_1)  o  L2(­Omega_2; mu_2) lineales y acotados. Mostraremos que bajo ciertas hipótesis de integrabilidad del núcleo de reconstrucción la inversa aproximada converge a la solución de mínimos cuadrados de mínima norma del problema (1). También se extenderán las definiciones y algunos resultados al caso de espacios de Banach generales. Referencias [1] A. Louis and P. Maass, A mollifier method for linear operator equa tions of the first kind, Inverse Problems, 6 (1990), pp 427-440. [2] A. Louis, Approximate inverse for linear and some nonlinear problems, Inverse Problems, 12 (1996), pp 175-190. [3] A. Louis, A unified approach to regularization methods for linear ill-posed problems, Inverse Problems, 15 (1999), pp 489-498. [3] A. Louis, A unified approach to regularization methods for linear ill-posed problems, Inverse Problems, 15 (1999), pp 489-498. [2] A. Louis, Approximate inverse for linear and some nonlinear problems, Inverse Problems, 12 (1996), pp 175-190. [3] A. Louis, A unified approach to regularization methods for linear ill-posed problems, Inverse Problems, 15 (1999), pp 489-498. [3] A. Louis, A unified approach to regularization methods for linear ill-posed problems, Inverse Problems, 15 (1999), pp 489-498. A mollifier method for linear operator equa tions of the first kind, Inverse Problems, 6 (1990), pp 427-440. [2] A. Louis, Approximate inverse for linear and some nonlinear problems, Inverse Problems, 12 (1996), pp 175-190. [3] A. Louis, A unified approach to regularization methods for linear ill-posed problems, Inverse Problems, 15 (1999), pp 489-498. [3] A. Louis, A unified approach to regularization methods for linear ill-posed problems, Inverse Problems, 15 (1999), pp 489-498. Approximate inverse for linear and some nonlinear problems, Inverse Problems, 12 (1996), pp 175-190. [3] A. Louis, A unified approach to regularization methods for linear ill-posed problems, Inverse Problems, 15 (1999), pp 489-498.A unified approach to regularization methods for linear ill-posed problems, Inverse Problems, 15 (1999), pp 489-498.