Regularización Estadística de Problemas Inversos: La Perspectiva Bayesiana

RUBEN D. SPIES

San Miguel de Tucumán

Conferencia; Conferencia Dr. Alberto González Dominguez, Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina; 2011

Unión Matemática Argentina, UNT

Problemas inversos mal condicionados aparecen en una gran variedad de áreas de la ciencia y la tecnología y con ellos surge también la necesidad de su “regularización” con el objetivo de extraer la mayor cantidad de información posible sobre la solución exacta manteniendo la estabilidad del proceso de inversión. Si bien existe una amplia variedad de opciones al momento de regularizar un problema mal condicionado, los métodos estadísticos de regularización para problemas inversos mal condicionados han experimentado una creciente utilización durante los últimos años. Una de las razones de esta creciente popularidad es la flexibilidad que estos métodos ofrecen cuando se trata de utilizar el conocimiento de atributos cualitativos sobre la solución exacta. En procesamiento de imágenes, esto es semejante al proceso que sigue naturalmente el sistema ojo-cerebro humano. Es precisamente la posibilidad de mejorar el aporte que proveen datos de baja calidad con información que puede estar basada en preconceptos propios de lo que estamos observando o en información proveniente de fuentes externas a los datos, lo que hace que los métodos estadísticos de regularización sean particularmente atractivos en ciertas aplicaciones, particularmente en problemas de procesamiento y restauración de imágenes. En esta charla presentaremos una visión general del estado del arte sobre los métodos de regularización para problemas inversos mal condicionados, señalando algunos problemas que aún permanecen abiertos, enfocando especial atención en algunos de los métodos modernos y en particular en los basados en la perspectiva Bayesiana. Estos últimos resultan de particular utilidad en el abordaje de problemas en los que los datos tienen naturaleza estocástica y/o la información “a-priori” sobre la solución exacta del problema es de tipo cualitativo o estructural. Mostraremos como la incorporación de este tipo de información puede realizarse en distintos niveles de jerarquía dando lugar a los llamados “modelos jerárquicos” o “hipermodelos”. Se mostrarán relaciones entre los métodos estadísticos y los métodos clásicos de Tikhonov-Phillip generalizados y finalmente se presentarán ejemplos numéricos en procesamiento de señales y restauración e imágenes con el objeto de comparar diferentes métodos y mostrar las ventajas que posee el enfoque estadístico cuando la información “a-priori” de la que se dispone es de tipo cualitativa o estructural.