Sobre la no Convergencia del Método de Mínimos Cuadrados en Dimensión Infinita.

RUBEN D. SPIES Y KARINA G. TEMPERINI

Revista MAT. Serie A

Departamento de Matemática, Facultad de Ciencias Empresariales, Universidad Austral

Lugar: Rosario; Año: 2007 vol. 14 p. 31 - 34

1515-4904

Un procedimiento muy utilizado en diversas aplicaciones para aproximar las soluciones de un problema inverso in¯nito-dimensional de la forma Ax = b, donde A es un operador lineal y compacto sobre un cierto espacio de Hilbert X y b es el dato dado, consiste en encontrar una sucesión fXNg de subespacios aproximantes ¯nito- dimensionales de X cuya unión es densa en X y construir la sucesión fxNg de soluciones de mínimos cuadrados del problema en cada subespacio XN.  Seidman demostró que si el problema es mal condicionado, entonces sin ninguna hipótesis adicional sobre la solución exacta o sobre la sucesión de subespacios aproximantes fXNg, no se puede garantizar que la sucesión fxNg convergerá a la solución exacta. En este artículo se extiende este resultado: se prueba que si X es separable, entonces para cualquier b 2 X, b 6= 0, y para cualquier función no negativa de¯nida sobre los naturales f : IN ! IR+, existe un operador lineal, compacto e inyectivo A y una sucesión creciente de subespacios ¯nito-dimensionales XN ½ X tales que xN ¡ A¡1b ¸f(N) para todo N 2 IN, donde xN es la solución de mínimos cuadrados del problema Ax = b en XN .Ax = b, donde A es un operador lineal y compacto sobre un cierto espacio de Hilbert X y b es el dato dado, consiste en encontrar una sucesión fXNg de subespacios aproximantes ¯nito- dimensionales de X cuya unión es densa en X y construir la sucesión fxNg de soluciones de mínimos cuadrados del problema en cada subespacio XN.  Seidman demostró que si el problema es mal condicionado, entonces sin ninguna hipótesis adicional sobre la solución exacta o sobre la sucesión de subespacios aproximantes fXNg, no se puede garantizar que la sucesión fxNg convergerá a la solución exacta. En este artículo se extiende este resultado: se prueba que si X es separable, entonces para cualquier b 2 X, b 6= 0, y para cualquier función no negativa de¯nida sobre los naturales f : IN ! IR+, existe un operador lineal, compacto e inyectivo A y una sucesión creciente de subespacios ¯nito-dimensionales XN ½ X tales que xN ¡ A¡1b ¸f(N) para todo N 2 IN, donde xN es la solución de mínimos cuadrados del problema Ax = b en XN .