INMABB   05456
INSTITUTO DE MATEMATICA BAHIA BLANCA
Unidad Ejecutora - UE
congresos y reuniones científicas
Título:
Funciones algebraicas en MV-álgebras perfectas
Autor/es:
CAMPERCHOLI, MIGUEL; CASTAÑO, DIEGO NICOLÁS; GISPERT, JOAN; DÍAZ VARELA, JOSÉ PATRICIO
Lugar:
La Plata
Reunión:
Congreso; Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina; 2018
Institución organizadora:
Unión Matemática Argentina - Universidad Nacional de La Plata
Resumen:
Dada una estructura algebraica $\mathbf{A}$, decimos que una función $f\colon A^n \to A$ es {\em algebraica} si puede ser definida implícitamente por un sistema de ecuaciones. Más precisamente, si $\alpha(\bar{x},\bar{z})$ es una conjunción de ecuaciones en el lenguaje de $\mathbf{A}$ y se tiene que para cada $\bar{a} \in A^n$ existe un único $\bar{b} \in A^m$ tal que $\alpha(\bar{a},\bar{b})$ es válido en $\mathbf{A}$, entonces son funciones algebraicas las funciones $f_1, \ldots, f_m\colon A^n \to A$ definidas por $(f_1(\bar{a}),\ldots,f_m(\bar{a})) :=$ único $\bar{b}$ tal que $\alpha(\bar{a},\bar{b})$.En un reciente trabajo hemos probado la siguiente caracterización de funciones algebraicas sobre $\ell$-grupos abelianos:\begin{theorem}Sea $\mathbf{G}$ un $\ell$-grupo Abeliano. Una función $f\colon G^n \to G$ es algebraica sobre $\mathbf{G}$ si y sólo si $$f(\bar{x}) = \frac{t(\bar{x})}{k},$$ donde $t(\bar{x})$ es una función-término sobre $\mathbf{G}$ y $k$ es un entero positivo tal que todo elemento de $\mathbf{G}$ es divisible por $k$.\end{theorem}En esta comunicación mostraremos que esta caracterización puede extenderse a la clase de las MV-álgebras perfectas. Concretamente probaremos el siguiente teorema, donde $\mathop{\rm rad} \mathbf{A}$ denota la intersección de todos los ideales maximales de $\mathbf{A}$.\begin{theorem}Sea $\mathbf{A}$ una MV-álgebra perfecta. Una función $f\colon A^n \to A$ es algebraica sobre $\mathbf{A}$ si y sólo si $$f(\bar{x}) = \mathsf{d}_k(t(\bar{x}))$$ donde $t(\bar{x})$ es una función-término sobre $\mathbf{A}$, $k$ es un entero positivo y $\mathsf{d}_k: A \to A$ es la función determinada por la siguientes condiciones:\begin{itemize}\item $k \, \mathsf{d}_k(a) = a$ para $a \in \mathop{\rm rad} \mathbf{A}$\item $\mathsf{d}_k(a)^k = a$ para $a \in \neg \mathop{\rm rad} \mathbf{A}$.\end{itemize}\end{theorem}Veremos que la extensión del resultado no es directa sino que se obtener traduciendo adecuadamente ciertas fórmulas de primer orden entre los lenguajes de las estructuras consideradas. Para ello será de utilidad considerar un eslabón intermedio entre los $\ell$-grupos Abelianos y las MV-álgebras perfectas: los hoops cancelativos (conos positivos de los $\ell$-grupos Abelianos).