Desigualdades con pesos para operadores multilineales

SHELDY JAVIER OMBROSI; KANGWEI LI; MARÍA BELÉN PICARDI

Buenos Aires

Congreso; Reunión anual de la Unión Matemática Argentina; 2017

En este trabajo estudiamos desigualdades mixtas con pesos para operadores multilineales y (sub)multilineales. El operador (sub)multilineal $\mathcal{M}$ se define en como $$\mathcal M(\vec f\,)(x)=\sup_{x\in Q}\prod_{i=1}^m\frac{1}{|Q|}\int_Q|f_i(y_i)|dy_i,$$ donde $\vec{f}=(f_1,...,f_m)$ y el supremo es tomado sobre todos los cubos $Q$ que contienen a $x$.Probamos el siguiente teorema:Sea $\vec{w}=(w_1,...,w_m)$ y sea $\nu = w_1^\frac{1}{m}...w_m^\frac{1}{m}$. Supongamos que $\vec{w}\in A_{\vec{1}}$ y $\nu v^{\frac{1}{m}}\in A_{\infty}$. Entonces existe una constante $C$ tal que\begin{equation} \label{main}\ \Bigg\| \frac{\mathcal{M}(\vec{f})}{v}\Bigg\|_{L^{\frac{1}{m}, \infty}(\nu v^\frac{1}{m})} \leq C \ \prod_{i=1}^m{\|f_i\|_{L^1(w_i)}}\end{equation}Este teorema generaliza al contexto multilineal el resultado de Sawyer sobre desigualdades mixtas. Previamente habíamos obtenido (\ref{main}) bajo las hipótesis $w_1,...,w_m\in A_1$ y $v\in A_{\infty}$.Además, a partir de argumentos de extrapolaci\'on podemos extender el teorema a operadores de Calder\'on-Zygmund multilineales.