Desigualdades con diferentes pesos para operadores multilineales

SHELDY JAVIER OMBROSI; KANGWEI LI; MARÍA BELÉN PICARDI

Bahía Blanca

Congreso; XIV Congreso Dr. Antonio Monteiro; 2017

En este trabajo estudiamos desigualdades mixtas con pesos para operadores multilineales y (sub)multilineales. Vale el siguiente teorema:Sean $w_1,...,w_m \in A_1$ y sea $v\in A_{\infty}$. Sea $\nu = w_1^\frac{1}{m}...w_m^\frac{1}{m}$. Entonces existe una constante $C$ tal que$$\Bigg\| \frac{\prod_{i=1}^m{Mf_i}}{v}\Bigg\|_{L^{\frac{1}{m}, \infty}(\nu v^\frac{1}{m})} \leq C \ \prod_{i=1}^m{\|f_i\|_{L^1(w_i)}}.$$Este teorema generaliza al contexto multilineal el resultado de Sawyer sobre desigualdades mixtas. Además observar que es el caso m\'as singular, ya que $v\in A_{\infty}$.Como corolario de este teorema y teniendo en cuenta la definici\'on del operador (sub)multilineal $\mathcal{M}$ definido como $$\mathcal M(\vec f\,)(x)=\sup_{x\in Q}\prod_{i=1}^m\frac{1}{|Q|}\int_Q|f_i(y_i)|dy_i,$$ donde $\vec{f}=(f_1,...,f_m)$ y el supremo es tomado sobre todos los cubos $Q$ que contienen a $x$, tenemos que vale: Sean $w_1,...,w_m \in A_1$ y sea $v\in A_{\infty}$. Sea $\nu = w_1^\frac{1}{m}...w_m^\frac{1}{m}$. Entonces existe una constante $C$ tal que$$\Bigg\| \frac{\mathcal{M} (\vec{f}) (x)}{v}\Bigg\|_{L^{\frac{1}{m}, \infty}(\nu v^\frac{1}{m})} \leq C \ \prod_{i=1}^m{\|f_i\|_{L^1(w_i)}}.$$A partir de este \'ultimo corolario y argumentos de extrapolaci\'on podemos extender nuestro resultado a operadores de Calder\'on-Zygmund multilineales.