Descomponibilidad de álgebras libres en subvariedades de álgebras de semi-Heyting

ABAD MANUEL; CORNEJO JUAN MANUEL; DÍAZ VARELA JOSÉ PATRICIO

Tucumán

Congreso; Renión Anual de la Unión Matemática Argentina; 2011

Universidad Nacional de Tucumán

Motivado por algunos de sus trabajos previos sobre álgebras de Heyting con un homomorfismo dual (álgebras de Heyting simétricas, en la terminología de A. Monteiro [1]) Sankappanavar se plantea la conjetura de la existencia de una variedad V de álgebras del mismo tipo de las álgebras de Heyting, que sean reticulados distributivos pseudocomplementados, que sus congruencias estén determinadas por sus filtros y que contengan a las álgebras de Heyting como subvariedad. El estudio e investigación de esta conjetura llevó a Sankappanavar a la introducción de las álgebras de semi-Heyting [2]. Un álgebra de semi-Heyting es un sistema A = (A, ∨, ∧, →, 0, 1) tal que (A, ∨, ∧, 0, 1) es un reticulado (distributivo) con 0, 1, y además satisface, x ∧ (x → y) ≈ x ∧ y, x ∧ (y → z) ≈ x ∧ [(x ∧ y) → (x ∧ z)] y x → x ≈ 1. Es decir, se definen reemplazando el axioma (x ∧ y) → x ≈ 1 en la definición de álgebras de Heyting por el axioma x → x ≈ 1. La variedad SH de las álgebras de semi-Heyting comparte con la variedad H de las álgebras de Heyting, además de las ya mencionadas, algunas otras propiedades importantes. Por ejemplo, todo intervalo en un álgebra de semi-Heyting es también pseudocomplementado y la variedad de las álgebras de semi-Heyting es aritmética. Sin embargo, la variedad de las álgebras de semi-Heyting presenta profundas diferencias con la variedad de las álgebras de Heyting. Por ejemplo es sabido que la implicación en un álgebra de Heyting está determinada por el orden del reticulado subyacente. En particular, sólo es posible definir (a lo sumo) una implicación de Heyting sobre un reticulado distributivo dado. La implicación de semi-Heyting no está determinada por el orden de reticulado subyacente. Así por ejemplo, se pueden definir dos estructuras de álgebra de semi-Heyting sobre el reticulado con dos elementos, y diez, sobre el reticulado de tres elementos. Es decir podemos tener muchas operaciones de semi-Heyting definibles sobre un mismo reticulado dado, siendo la implicación de Heyting la mayor. En este trabajo probaremos que las álgebras libres de una subvariedad V de la variedad SH son directamente indescomponibles si y sólo si V satisface la identidad de Stone x* ∨ x** ≈ 1. Para lograr este objetivo obtendremos un teorema tipo Glivenko para la variedad de las álgebras de semi-Heyting y probaremos que la clase de las álgebras de semi-Heyting booleanas (álgebras con una estructura subyacente de reticulado booleano) constituye una subcategoría reflectiva de SH.