Teorema Ergódico en espacios de Hadamard en términos de la media inductiva

STOJANOFF, DEMETRIO; GHIGLIONI, EDUARDO MARIO; ANTEZANA, JORGE ABEL

La Plata

Congreso; Reunion Anual de la Unión Matemática Argentina; 2018

Universidad Nacional de La Plata

El conjunto de matrices (estrictamente) positivas $\mathcal{P}(n)$ posee una estructura Riemanniana natural, respecto a la cual, la geod\'esica que une dos matrices positivas $A$ y $B$ tiene la siguiente expresi\'on:\begin{equation}\label{(1)}A\#_t B = A^{1/2}(A^{-1/2}BA^{-1/2})^{t}A^{1/2}\,.\end{equation}El punto medio de esta curva se denomina media geom\'etrica entre $A$ y $B$, el cual admite la siguiente caracterizaci\'on alternativa:$$A\#_{1/2} B = \mbox{arg}\min_{C\in\mathcal{P}(n)} \delta^2(C,A)+\delta^2(C,B).$$Esta caracterizaci\'on permite generalizar la definici\'on de media geom\'etrica a m\'as de dos matrices: dadas $m$ matrices positivas $A_1,\ldots,A_m$ la media geom\'etricas de las mismas se define como$$\Lambda(A_1,\ldots,A_m) :=\mbox{arg}\min_{C\in \mathcal{P}(n)} \ \Big(\sum_{j=1}^m\delta^2(A_j,C)\,\Big).$$A diferencia del caso de dos matrices, para la media de tres o m\'as matrices no existe una f\'ormula cerrada. En el trabajo \cite{[Holbrook]}, Holbrook obtuvo una forma de aproximar la media geom\'etrica de finitas matrices positivas utilizando la media inductiva. Recordemos que la media inductiva se define como\begin{align*}S_1(A) & = A_1 \quad \quadS_{n}(A) = S_{n-1}(A) \#_{\frac{1}{n}} A_{n} \ \ \ \ \ (n \geq 2).\end{align*}En t\'erminos de estas medias, Holbrook prob\'o que si definimos la sucesi\'on $n$-peri\'odica $\{\omega_k(A)\}$ por medio de $w_k(A)=A_j$ si $k \equiv j$ (mod $m$), entonces$$S_n(\omega(A)) \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} \Lambda(A_1,\ldots,A_m).$$\indent Consideremos ahora el toro $\mathbb{T}=\{z\in\mathbb{C}: |z|=1\}$, con la estructura de grupo usual, y en \'el una rotaci\'on irracional $\tau$. En esta charla expondremos un nuevo teorema erg\'odico para funciones en $L^1(\mathbb{T},\mathcal{P}(n))$. Como en el resultado de Holbrook, dada $g\in L^1(\mathbb{T},\mathcal{P}(n))$, vamos a usar la media inductiva para promediar los elementos de la \'orbita $\{g(\tau^n(x))\}$. En este caso, el l\'imite ser\'a el centro de masa riemanniano, el cual es una extensi\'on natural de la media geom\'etrica. A diferencia de otros resultados similares para funciones en $L^1(\mathbb{T},\mathcal{P}(n))$ (p.e. \cite{Austin}, \cite{Navas}), la ventaja de la media inductiva es que puede ser calculada de manera expl\'icita por \eqref{(1)}.