Sucesiones efectiva en L^2 de medidas singulares

MARÍA GUADALUPE GARCÍA; JORGE ABEL ANTEZANA

Bahía Blanca

Congreso; UMA 2016; 2016

Universidad Nacional del Sur

Una sucesión $\left{e_n \right}_{n \geq 0}$ de vectores unitarios de un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ se dice efectiva si, dado cualquier $x \in \mathcal{H}$, entonces la sucesión $\left{ x_n \right}_{n \geq 0}$ de vectores en $\mathcal{H}$ construida a partir del algoritmo de Kaczmarz \cite{K} $\begin{align*}x_0 &= \leftlangle x, e_0 \rightangle e_0, \\ \nonumberx_n &= x_{n-1} + \leftlangle x- x_{n-1}, e_n \rightangle e_n. \label{eq: alg. de ka}\end{align*}converge (en norma) al vector original $x$. Los vectores $x_n$ se puede expresar como $$x_{n} = \displaystyle{sum_{k=0}^{n}} \leftlangle x, g_k \rightangle e_k, \label{eq:comb. lineal 1} $$para cierta familia de vectores $\left{ g_n \right}_{n\geq 0}$ la cual resulta ser un frame de Parseval. Dada una medida $mu$ de probabilidad definida en los borelianos de $\mathbb{T}$, la cual es singular respecto a la medida de Haar de $\mathbb{T}$, entonces la sucesión de monomios $\left{z^n \right}_{n\geq 0}$ resulta efectiva en $L^2(\mathbb{T},mu)$ (\cite{KM}, \cite{H-W}). Por otra parte, la medida singular $mu$ tiene asociada una función interna $\varphi$ mediante la transformada de Herglotz. Si $P_\arphi$ denota la proyección ortogonal del espacio $H^2(D)$ sobre el espacio modelo $\varphi^*H^2=H^2(\mathbb{D}) \ominus \varphi H^2(\mathbb{D})$, entonces la familia $\left{P_\varphi z^n \right}_{n\geq 0}$ resulta un frame de Parseval en $\varphi^*H^2$. En esta charla comentaremos la relación existente entre este frame de Parseval y el asociado a $\left{z^n \right}_{n\geq 0}$ pensada como sucesión efectiva. A partir de dicha relación obtendremos algunos resultados sobre la transformada de Cauchy y sobre núcleos reproductores en el espacio de Hardy. Estos últimos mejoran los obtenidos por Herr et. al. en \cite{H-J-W}.\begin{thebibliography}{XXXXXX}\bibitem{H-J-W} J. E. Herr, P. T. Jorgensen, E. S. Weber, Positive matrices inthe harsy space with prescribed boundary representations via the Kaczmarz algothim, (2016)\bibitem{H-W} J. E. Herr, E. S. Weber, Fourier series for singular measures. (2015)\bibitem{K} S. Kaczmarz, Angen"aherte auf"osung von systemen linearer gleichungen, Bulletin International de l´Acad´emie Plonaise des Sciences et des Lettres. Classe des Sciences Math´ematiques et Naturelles. S´erie A. Sciences Math´ematiques 35 (1937), 355-357.\bibitem{KM} S. Kwapien, J Mycielski, On the Kaczmarz algorithm of approximation in infinitedimensional spaces, Studia Math. 148 (2001), no. 1, 75-86.