Dualidad en sistemas de reconstrucción

P. MASSEY; M. RUIZ; D. STOJANOFF

Congreso; LIX Reunión de Comunicaciones Científicas de la U.M.A.; 2010

En este trabajo se considera la noción de Sistemas de Reconstrucción (finitos) en $\hil \cong \C^d$. Esto es, dado $\k = (k_1 \coma \dots \coma k_m)$, una familia $\cV= \{V_i\}_{i=1}^m$, con  $V_i\in L(\hil \coma \C^{k_i})$, $i=1,\ldots m$, es un {\it Sistema de Reconstrucción} si el operador positivo$$\displaystyle{S_\cV \igdef \sum_{i=1}^m V_i^*V_i } $$es invertible en $\hil$. Además, el sistema $\cV$ es {\it proyectivo} si se tiene $V_iV_i^*=v_i^2\, I_{k_i}$, donde $I_{k_i}$ es la identidad en $\C^{k_i}$ y $\{v_i^2\}_i$ son los {\it pesos} de $\cV$.En el contexto de los SR pueden definirse de forma adecuada los sistemas de reconstrucción duales de $\cV$, esto es, sistemas de reconstrucción $\cW=\{W_i\}_{i=1}^m$ tales que $$ x\stackrel{(1)}{=} \sum_{i=1}^m W_i^*(V_i\,x)\stackrel{(2)}{=} \sum_{i=1}^m V_i^*(W_i\, x)\, , \ \  x\in \hil\, .$$En esta charla se presentarán resultados relativos al estudio de sistemas duales óptimos para pérdidas de coeficientes (vectoriales) en el análisis Eq. (1) efectuado con $\cV$.Además, introduciremos el potencial conjunto, definido en pares $(\cV, \cW)$, donde $\cV$ es un SR proyectivo y $\cW$ es un SR dual de $\cV$:\begin{equation*}\FP(\cV,\cW) \igdef\FP(\cV)+\FP(\cW)=\tr \, S_\cV^2 +\tr \, S_\cW^2   \ .\end{equation*}Se dará una caracterización espectral del conjunto de sistemas duales a un RS fijo y se describirá (de forma espectral y geométrica) a los pares $(\cV,\cW)$ que minimizan el potencial conjunto entre los sistemas de reconstrucción con pesos fijos de su parte proyectiva.