Orbitas cerradas para un sistema semi-din ́amicocerca de un equilibrio

PABLO AMSTER; GONZALO ROBLEDO; MARIEL PAULA KUNA

Congreso; SUMA 2019; 2019

Unión Matemática Argentina y Sociedad Matemática Chilena

Sea Ω⊂RN un domino acotado con borde suave. Un resultado clásico de EDO dice que si una función suave G:Ω¯¯¯¯→RN apunta hacia adentro en ∂Ω, entonces las soluciones del sistema autónomou′(t)=G(u(t))con dato inicial u(0)=u0∈Ω¯¯¯¯ están definidas y se mantienen dentro de Ω para todo t>0.Para p continua y T−periódica, consideremos la siguiente perturbación del sistema originalu′(t)=G(u(t))+p(t).Si Ω¯¯¯¯ tiene la propiedad de punto fijo, entonces el sistema tiene al menos una órbita T−periódica si ∥p∥∞ es pequeña. Esto se debe al hecho de que G(⋅)+p(t) sigue apuntando hacia adentro sobre ∂Ω para todo t; luego, el conjunto Ω¯¯¯¯ es invariante para el flujo asociado y, por lo tanto, el operador de Poincaré, dado por Pu0:=u(T), está bien definido para u0∈Ω¯¯¯¯ y satisface P(Ω¯¯¯¯)⊂Ω¯¯¯¯. Más aún, por el teorema de Hopf se deduce quedegB(G,Ω,0)=degB(−ν,Ω,0)=(−1)Nχ(Ω),donde degB denota el grado de Brouwer, ν es la normal exterior y χ(Ω) es la característica de Euler de Ω.Ahora supongamos que el sistema autónomo tiene un punto de equilibrio e; luego, por la propiedad de escisión del grado se prueba que para casi todos los valores de p¯¯¯ en un entorno de 0∈RN, la aplicación G+p¯¯¯ tiene al menos Γ raíces diferentes en Ω, dondeΓ:=|χ(Ω)−(−1)Nsgn(det(DG(e)))|+1.En consecuencia, empleando el lema de Sard-Smale, se ve que si p∈C(R,RN) es T-periódica y ∥p∥∞ es pequeña, entonces la cantidad de soluciones T−periódicas del sistema no autómono es, genéricamente, al menos Γ. Aquí, `genericamente' debe ser entendido en el sentido de las categorías de Baire.La situación es diferente para el siguiente sistema de ecuaciones con retardou′(t)=g(u(t),u(t−τ))donde g:Ω¯¯¯¯×Ω¯¯¯¯→RN es continuamente diferenciable. En primer lugar, debido al retardo, la condición de que el campo G(x):=g(x,x) apunte hacia adentro en ∂Ω no evita que las soluciones con dato inicial x0:=ϕ∈C([−τ,0],Ω¯¯¯¯) puedan eventualmente salir de Ω¯¯¯¯. En segundo lugar, las observaciones previas respecto al operador de Poincaré resultan menos obvias, ya que el operador ahora no está definido en el espacio de estados de dimensión finita Ω¯¯¯¯ sino un subconjunto del espacio de Banach C([−τ,0],RN).En este trabajo mostraremos que, bajo condiciones apropiadas, las ideas anteriores para el caso sin retardo pueden extenderse a fin de obtener múltiples órbitas T-peródicas para perturbaciones no autónomas del sistema con retardo.