Teorema de los ceros de Hilbert efectivo para polinomios ralos

HERRERO, MAR¨ªA ISABEL; JERONIMO, GABRIELA; SABIA, JUAN

La Plata

Congreso; LXVII Reunión anual de comunicaciones científicas de la Unión Matemática Argentina; 2018

Sea K un cuerpo algebraicamente cerrado de caracter¨ªstica cero. El teorema de los ceros de Hilbert establece que, dados polinomios f1;...; fs en K[x1;...; xn] que definen una variedad af¨ªn V, un polinomio p en K[x1;...; xn] se anula sobre V si y solo si existe un n¨²mero natural r tal que p^r est¨¢ en el ideal I de K[x1;...; xn] generado por f1;...; fs. Cuando la variedad V es vac¨ªa, en particular esto nos dice que existen polinomios g1;...; gs tales que 1 =¦² gi fi, y es de inter¨¦s acotar el grado de los polinomios gi en funci¨®n de invariantes asociados a los polinomios fi. Cuando la variedad V es no vac¨ªa, existe un numero r, llamado el exponente de Noether de I, que es el m¨ªnimo natural para el cual p^r est¨¢ en I para todo polinomio p que se anula sobre V , y en este caso, resulta de inter¨¦s dar una cota superior para este exponente.El problema de hallar cotas precisas para el teorema de los ceros de Hilbert en funci¨®n de los grados de los polinomios f1;...; fs ha sido estudiado extensamente desde distintos enfoques y mediante el uso de diversas herramientas (ver por ejemplo [1], [4]). M¨¢s recientemente, en [2] se present¨® un nuevo m¨¦todo basado en eliminaci¨®n geom¨¦trica con el que se obtuvieron cotasque mejoran las anteriores cuando s < n +1 y que, en el caso general, son levemente m¨¢s d¨¦biles.Un enfoque alternativo para conseguir cotas m¨¢s ajustadas consiste en explotar la estructura monomial de los polinomios f1;...;fs; esto es, considerar los soportes de los polinomios (conjuntos de monomios que aparecen con coeficientes no nulos). En [5] y [3] se presentan cotas que dependen de invariantes combinatorios (vol¨²menes mixtos) asociados a dichos soportes. En esta comunicaci¨®n presentaremos nuevas cotas tanto para el exponente de Noether comopara el grado de los polinomios gi fi en el teorema de los ceros de Hilbert en el caso de ideales dados por a lo sumo n + 1 generadores con soportes prefijados. Para la obtenci¨®n de estas cotas nos basamos en el m¨¦todo de [2], adapt¨¢ndolo convenientemente de modo de aprovechar la estructura rala de los polinomios. Al igual que en [5] y [3], nuestras cotas dependen devol¨²menes mixtos asociados a los soportes de los polinomios, pero mejoran estos resultados previos ya que no requieren considerar la uni¨®n de los soportes que, en ciertos casos, implica un aumento artificial de las cotas.Referencias[1] W. D. Brownawell, Bounds for the degrees in Nullstellensatz, Ann. of Math. 126 (1987),577{592.[2] Z. Jelonek, On the effective Nullstellensatz. Invent. Math. 162 (2005), no. 1, 1{17.[3] T. Krick, L. M. Pardo, M. Sombra, Sharp estimates for the arithmetic Nullstellensatz. DukeMath. J. 109 (2001), no. 3, 521{598.[4] J. Kollar, Sharp effective Nullstellensatz, J. Amer. Math. Soc. 1 (1988), 963{975.[5] M. Sombra, A sparse effective Nullstellensatz. Adv. in Appl. Math. 22 (1999), no. 2, 271{295.