Cálculo efectivo de resultantes ralas

JUAN SABIA; GABRIELA JERONIMO

Congreso; LXV Reunión anual de comunicaciones científicas de la Unión Matemática Argentina; 2016

La resultante rala (ver [4]) es una herramienta fundamental en la resolución de sistemas de ecuaciones polinomiales. Los primeros métodos efectivos para el cálculo de resultantes ralas fueron presentados en [5] y [1], y se basan en la construcción de una matriz de tipo Silvestre cuyo determinante es un múltiplo no nulo de la resultante. Posteriormente, en [2], se dio una fórmula para su cálculo como el cociente del determinante de una matriz de este tipo por uno de sus menores. En [3], se modificó la definición de resultante rala, lo que permitió extender resultados previos y obtener enunciados más simples. En esta charla, mostraremos que la resultante rala definida en [3] puede evaluarse en una cantidad de pasos polinomial en su grado, su número de variables y el tamaño de los exponentes de los monomios en los polinomios de Laurent involucrados en su definición. Más aún, presentaremos un algoritmo probabilístico con complejidad de este orden que produce un straight-line program para calcularla en esta cantidad de pasos.Referencias[1] J. F. Canny, I. Z. Emiris, An efficient algorithm for the sparse mixed resultant. In: Cohen, G., Mora, T., Moreno, O. 35 (Eds.), Proc. Int. Symp. on Appl. Algebra, Algebraic Algorithms and Error-Corr. Codes. Puerto Rico. In: LNCS, vol. 36, 263 (1993), 89?104.[2] C. D?Andrea, Macaulay style formulas for sparse resultants. Trans. Amer. Math. Soc. 354 (7) (2002), 2595?2629.[3] C. D?Andrea, M. Sombra, A Poisson formula for the sparse resultant. Proc. Lond. Math. Soc. (3) 110 (2015), no. 4, 932?964.[4] I. M. Gel?fand, M. M. Kapranov, A. V. Zelevinsky, Discriminants, resultants, and multidimensional determinants. Mathematics: Theory & Applications. Birkh¨auser Boston, Inc.,Boston, MA, 1994.[5] B. Sturmfels, Sparse elimination theory. In: Eisenbud, D., Robbbiano, L. (Eds.), Computational Algebraic 40 Geometry and Commutative Algebra (Cortona, 1991). In: Sympos. Math. XXXIV, Cambridge Univ. Press, 41 (1993), 264?298.