Curvas por un punto en variedades algebraicas

HERRERO, MARÍA ISABEL; JERONIMO, GABRIELA; SABIA, JUAN

Congreso; LXIII Reunión de Comunicaciones Científicas de la Unión Matemática Argentina; 2014

Una forma usual de representar variedades algebraicas en geometría computacional es por medio de conjuntos finitos de puntos representativos de cada componente equidimensional de la variedad. Con el objeto de no superar cierto orden de complejidad, algunos algoritmos para el cálculo de estos conjuntos producen puntos adicionales en componentes de mayor dimensión (por ejemplo, al calcular los puntos aislados de la variedad, pueden obtener también puntos que no lo son). Surge entonces el problema de decidir si un punto en una variedad es aislado o no. En [1], se propone que, bajo ciertas hipótesis, si puede calcularse un segundo término de un desarrollo en series de Puiseux alrededor de un cero común ξ de un sistema polinomial de dos ecuaciones en dos variables, entonces el punto ξ no es aislado; sin embargo, esto no vale con total generalidad. En esta charla, trataremos el caso general de dos variables y presentaremos una extensión de los resultados al caso de n variables. Más precisamente, establecemos condiciones que debe cumplir un vector T de series de Puiseux truncadas, centradas en un punto ξ de una variedad V en el espacio complejo n-dimensional, para poder asegurar que ξ no es aislado en V. Más aún, si la dimensión de V es 1, damos condiciones adicionales que garantizan que la parte inicial de T coincide con la parte inicial de una parametrización de un curva incluida en V que contiene a ξ. [1] D. Adrovic, J. Verschelde Tropical algebraic geometry in Maple: a preprocessing algorithm for finding common factors for multivariate polynomials with approximate coefficients. J. Symbolic Comput. 46 (2011), no. 7, 755-772.