Fibración holomorfa asociada a una nilvariedad compleja abeliana

A. ANDRADA, M.L. BARBERIS, I. DOTTI

Mendoza

Congreso; LVIII Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina; 2008

Universidad Nacional de Cuyo y Unión Matemática Argentina

Una estructura compleja abeliana en un álgebra de Lie real $rak g$ es un endomorfismo $J$ de $rak g$ que satisface egin{equation} J^2=-I, hspace{1.5cm} [Jx,Jy]=[x,y], ; ;; orall x,y in rak g. label{abel} end{equation} Si $G$ es un grupo de Lie con álgebra de Lie $rak g$, estas condiciones implican la integrabilidad de $J$ en $G$, es decir, $(G,J)$ es una variedad compleja tal que las traslaciones a izquierda son difeomorfismos holomorfos de $G$. Si $Gamma subset G$ es un subgrupo discreto co-compacto arbitrario de $G$, entonces diremos que la nilvariedad $Gamma ackslash G$ con la estructura compleja inducida por $J$ es una nilvariedad compleja abeliana. Una descomposición $rak g = rak g_+ oplus rak g _- $, donde $rak g _±$ son subálgebras de Lie de $rak g$, da origen a una estructura producto $E$ definiendo $Emid rak g_±=pm $Id. Una estructura compleja-producto en $rak g$ es un par ${J, E}$ formado por una estructura producto $E$ y una estructura compleja $J$ tales que $JE=-EJ$. Las estructuras complejas abelianas en álgebras de Lie fueron consideradas por primera vez en cite{bdm} y han sido estudiadas posteriormente en cite{ba-do}. La motivación proviene de las propiedades que poseen las variedades complejas obtenidas al considerar esta clase de estructuras. Por ejemplo, en cite{AD} se da un método para construir estructuras simplécticas en $Bbb R^{4n}$ a partir de estructuras complejas-producto abelianas. El objetivo de este trabajo es mejorar los resultados de cite{ba-do}. Demostramos que toda nilvariedad con una estructura compleja abeliana admite una fibración holomorfa sobre un toro, con fibra dada por una nilvariedad con una estructura producto-compleja abeliana. Exhibimos una familia de ejemplos como aplicación de este resultado. egin{thebibliography}{BDM} renchspacing ibitem[AD]{AD} A. Andrada, I. Dotti, {it Double products and hypersymplectic structures on $Bbb R^{4n}$}, Communications in Math. Physics, {f 262} (2006), 1--16. ibitem[BDM]{bdm} M. L. Barberis, I. G. Dotti, R. J. Miatello, {it On certain locally homogeneous Clifford manifolds}, Ann. Glob. Anal. Geom. {f 13} (1995), 289--301. ibitem[BD]{ba-do} M. L. Barberis, I. Dotti, {it Abelian complex structures on solvable Lie algebras}, J. Lie Theory {f 14} (2004), 25--34. end{thebibliography}