Sucesiones efectivas, núcleos y medidas singulares

JORGE ABEL ANTEZANA; MARÍA GUADALUPE GARCÍA

Buenos Aires

Seminario; Seminario de Análisis Funcional "Micha Cotlar"; 2017

Instituto Argentino de Matemática ?Alberto P. Calderón?

\begin{document}\vspace{2.5cm}\begin{center}\LARGE{\bf Sucesiones efectivas, núcleos y medidas singulares}\\\end{center}\pagestyle{plain}\medskip Una sucesión $\left\{e_n \right\}_{n \geq 0}$ de vectores unitarios de un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ se dice efectiva si, dado cualquier $x\in\mathcal{H}$, entonces la sucesión $\left\{ x_n \right\}_{n\geq 0}$ de vectores en $\mathcal{H}$ construida a partir del algoritmo de Kaczmarz \cite{K}\begin{align*}x_0 &= \left\langle x, e_0 \right\rangle e_0, \\ %\nonumberx_n &= x_{n-1} + \left\langle x- x_{n-1}, e_n\right\rangle e_n, %\label{eq: alg. de ka}\end{align*}converge (en norma) al vector original $x$. Los vectores $x_n$ también se pueden expresar como %\begin{equation}$$x_{n} = \displaystyle{\sum_{k=0}^{n}} \left\langle x, g_k\right\rangle e_k, %\label{eq:comb. lineal 1} $$para cierta familia de vectores $\left\langle g_k \right\rangle_{k\geq 0}$, la cual resulta ser un frame de Parseval. Dada una medida $\mu$ de probabilidad definida en los borelianos de $\mathbb{T}$, singular con respecto a la medida de Haar de $\mathbb{T}$, la sucesión de monomios $\left\{z^n\right\}_{n\geq 0}$ resulta efectiva en $L^2(\mathbb{T},\mu)$ (\cite{KM}, \cite{H-W}). En esta charla daremos una caracterización del frame de Parseval asociado a la sucesión efectiva de monomios, la cual relaciona dicho frame con los espacios modelos de $H^2(\mathbb{D})$. Por otro lado, esta relación entre espacios modelos y $L^2(\mu)$ nos permitirá estudiar el siguiente problema considerado en \cite{H-J-W}: dado un núcleo positivo $K:\mathbb{D}\times\mathbb{D}\to \mathbb{C}$, describir el conjunto de medidas de Borel $\mu$ sobre $\mathbb{T}$ tales que, por un lado el núcleo $K_w(\cdot)=K(\cdot,w)$ posee una ``extensión'' $K_w^*$ a $\mathbb{T}$ que pertenece a $L^2(\mu)$, y por otro lado estas extensiones satisfacen $$K_w(z) = \int_\mathbb{T} K_w^*(\xi) \, \overline{K_z^*(\xi)} \, d\mu(\xi).$$ \begin{thebibliography}{XXXXXX}\bibitem{H-J-W} J. E. Herr, P. T. Jorgensen, E. S. Weber, Positive matrices inthe hardy space with prescribed boundary representations via the Kaczmarz algothim, (2016)\bibitem{H-W} J. E. Herr, E. S. Weber, Fourier series for singular measures. (2015)\bibitem{K} S. Kaczmarz, Angen\"aherte auf\"osung von systemen linearer gleichungen, Bulletin International de l'Acad\'emie Plonaise des Sciences et des Lettres. Classe des Sciences Math\'ematiques et Naturelles. S\'erie A. Sciences Math\'ematiques 35 (1937), 355-357.\bibitem{KM} S. Kwapien, J Mycielski, On the Kaczmarz algorithm of approximation in infinitedimensional spaces, Studia Math. 148 (2001), no. 1, 75-86. \end{thebibliography}\end{document}