Ecuaciones de Euler-Lagrange para un Problema Isoperimétrico Fraccionario.

LIC. BARRIOS MELANI; DRA. REYERO GABRIELA

Comodoro Rivadavia

Congreso; VI Matemática Aplicada, Computacional e Industrial (MACI); 2017

El c´alculo variacional fraccionario es un campo reciente, iniciado en 1997, donde los problemas variacionales cl´asicos son considerados, pero en presencia de derivadas o integrales fraccionarias. Se han desarrollado numerosos trabajos tendientes a extender la teor´ia del c´alculo variacional para poder ser aplicados a problemas de c´alculo de variaciones fraccionario.Esto se debe fundamentalmente, por un lado, a un importante desarrollo del c´alculo fraccionario tanto desde el punto de vista matem´atico como de sus aplicaciones en otras ´areas (electricidad, magnetismo, mec´anica, din´amica de fluidos, medicina, etc.) cite{Alm5,Goo,Hil,Kil}, lo que ha llevado a un gran crecimiento de su estudio en las ´ultimas d´ecadas.Por otra parte, las ecuaciones diferenciales fraccionarias establecen modelos muy superiores a los que utilizan ecuaciones diferenciales con derivadas enteras porque incorporan en el modelo cuestiones de memoria o efectos posteriores que se descuidan en los modelos con derivada cl´asica cite{Die,Kil}. \ Siguiendo cite{Odz}, consideramos aqu´i que la derivada de orden m´as alto en el Lagrangiano es de orden entero. La principal ventaja de nuestra formulaci´on, con respecto al enfoque fraccionario puro adoptado en la literatura, es que los resultados cl´asicos del c´alculo variacional se pueden obtener ahora como casos particulares. Recordemos que la ´unica posibilidad de obtener la derivada cl´asica $ y ´$ de una derivada fraccionada $ D^{alpha} y $, $ alpha in (0,1) $, es tomar el l´imite cuando $ alpha $ tiende a uno. Sin embargo, en general este l´imite no existe cite{Ross}. Diferente de cite{Odz}, donde la derivada fraccionaria se considera en el sentido de Riemann-Liouville, investigamos aqu´i problemas del c´alculo de variaciones con integrandos dependiendo de la variable independiente $ x $, una funci´on desconocida $ y $, su derivada de orden entero $ y ´$, y una derivada fraccionaria $ ,^CD^ {alpha} y $ en el sentido de Caputo.Recientemente, se han desarrollado varios enfoques para generalizar las ecuaciones de Euler-Lagrange para incluir las derivadas fraccionarias cite{Agr, Agr2, Alm3, Alm4, Mal, Mal2, Mal3, Odz}. En todas las referencias antes mencionadas, las ecuaciones de Euler-Lagrange siempre dependen de las derivadas de Riemann-Liouville o de Caputo mixtas o solamente de Riemann-Liouville. Remitimos al lector a cite{Mal4}, para m´as informaci´on sobre el c´alculo de variaciones fraccionario y respectivas ecuaciones fraccionarias de Euler-Lagrange. \Es importante se~nalar que mientras que las derivadas fraccionarias de Riemann-Liouville cite{Old} son hist´oricamente el enfoque m´as estudiado para el c´alculo fraccionario, las derivadas fraccionarias de Caputo son m´as populares entre f´isicos y cient´ificos.%debido a que las ecuaciones diferenciales definidas en t´erminos de derivadas de Caputo requieren condiciones iniciales y de contorno regulares. Por otra parte, las ecuaciones diferenciales con derivados de Riemann-Liouville requieren condiciones fraccionarias iniciales y de contorno no est´andar que conducen, en general, a soluciones singulares, limitando as´i su aplicaci´on en f´isica y ciencias.Por otro lado, dentro de las formulaciones actuales del c´alculo de variaciones fraccionario, incluso los Lagrangianos que dependen s´olo de los derivados de Caputo conducen a ecuaciones de Euler-Lagrange con derivadas de Riemann-Liouville cite{Alm4}. Esto es una consecuencia del m´etodo de Lagrange para optimizar funcionales: la aplicaci´on de la integraci´on por partes para las derivadas de Caputo en la derivada de Gateaux del funcional relaciona Caputo con las derivadas de Riemann-Liouville. En el presente trabajo obtenemos una ecuaci´on de Euler-Lagrange en forma integral que contiene s´olo derivadas de Caputo y una ecuaci´on diferencial fraccionaria de Euler-Lagrange que depende s´olo de derivadas de Caputo para problemas isoperim´etricos fraccionarios, cuyo Lagrangiano depende de la derivada fraccionaria de Caputo y de la derivada cl´asica, y terminamos con un ejemplo ilustrativo de los resultados del trabajo.