Análisis numérico de algunos problemas variacionales fraccionarios.

LIC. BARRIOS MELANI; DRA. REYERO GABRIELA

Buenos Aires

Congreso; RSME-UMA 2017.; 2017

Las derivadas e integrales de orden fraccionario fueron introducidas hace más de tres siglos atrás, pero sólo recientemente han ganado más atencióndebido a sus aplicaciones en fenómenos no locales (\cite{Die}). Motivado por numerosasaplicaciones en física y en otras ciencias, el cálculo variacionalfraccionario actualmente se encuentra en rápido desarrollo. En este trabajoconsideramos problemas variacionales de la forma: \[J(y)=\int_{a}^{b}L(x,y,y',\,_{a}^{C}D_{x}^{\alpha }y)\,dx\]donde en la función Lagrangiana $L$ aparece $\,_{a}^{C}D_{x}^{\alpha }y$, que es la derivada fraccionaria de Caputo porizquierda de orden $\alpha>0$ (\cite{Agr2},\cite{AlTo},\cite{OdMaTo}). Se consideran diferentes condicionesde optimalidad, particularmente, la ecuación de Euler-Lagrange fraccionaria que depende sólo de la derivada de Caputo (\cite{BaRe},\cite{LaTo}).\\ Se analizarán numéricamente varios problemas variacionales fraccionarios: con condiciones decontorno fijas, isoperimétricos con restricción integral que también dependen de derivadas fraccionarias de Caputo. Se utilizarán diversos métodos numéricos fraccionariosdirectos e indirectos (\cite{PoAlTo}).\begin{thebibliography}{6}\bibitem{Agr2} Agrawal O.P., Formulation of Euler-Lagrange equations forfractional variational problems. J. Math. Anal. Appl. 272(1) pp. 368-379,(2002).\bibitem{AlTo} Almeida R., Torres D., Neccesary and sufficient conditionsfor the fractional calculus of variations with Caputo derivatives. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, Elsevier, Vol 16, Issue 3, pp- 1490-1500, (2011).%\bibitem{AlFeTo} Almeida R., Ferreira R., Torres D., Isoperimetric%problems of the calculus of variations with fractional derivatives. Acta Mathematica Scientia, Elsevier, Vol 32, Issue 2,pp. 619-630, (2012).\bibitem{BaRe} Barrios M., Reyero G., An Euler-Lagrange equation only dependingon derivatives of Caputo for fractional variational problems with classical derivatives. International Journal of Differential Equation (Hindawi), en evaluación, ISSN 1687-9643, (2017).\bibitem{Die} Diethelm K., The analysis of fractional differential equations. Lecture Notes in Mathematics, Springer, (2010).\bibitem{LaTo} Lazo M., Torres D., The DuBois-Reymond fundamental lemma of the fractional calculus of variations and an Euler-Lagrange equation involving only derivatives of Caputo. J. Optim. Theory and Appl. 156, pp56-67, (2013).\bibitem{OdMaTo} Odzijewicz T., Malinowska A., Torres D., Fractional variational calculus with classical and combined Caputo derivatives. Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, Elsevier, Vol 75, Issue 3, pp. 1507-1515, (2012).\bibitem{PoAlTo}Pooseh S., Almeida R., Torres D., Numerical aproximations to fractional problemsof the calculus of variations and optimal control. Fractional Calculus in Analysis, Dynamics andOptimal Control, chap V, pp201-240, Nova Science Pub, (2014).\end{thebibliography}