Núcleos y medidas singulares

JORGE ABEL ANTEZANA; MARÍA GUADALUPE GARCÍA

Congreso; RSME - UMA 2017; 2017

ResumenEl Teorema de Fatou para el espacio de Hardy $H^2(\mathbb{D})$ establece una isometría entre $H^2(\mathbb{D})$ y $L^2(\mathbb{T}, m)$, donde $m$ es la medida de Haar sobre $\mathbb{T}$. Dicho de otro modo, a cada $f \in H^2(\mathbb{D})$ le corresponde linealmente una $f^* \in L^2(\mathbb{T},m)$ de modo que $\left\|f\right\|_{H^2}= \left\|f^*\right\|_{L^2(\mathbb{T},m)}$. El espacio $H^2(\mathbb{D})$ es un espacio de Hilbert con núcleo reproductor $k_z$, llamado núcleo de Szegö. Por el Teorema de Fatou antes mencionado, se cumple que $$ k_z(w) = \int_\mathbb{T} k_z^*(\xi) \, \overline{k_w^*(\xi)} \, dm(\xi).$$ Esto muestra que el núcleo se reproduce a sí mismo con respecto a la integración de su ``extensión'' $k^*_z$ en $L^2(\mathbb{T},m)$, para cada $z\in\mathbb{D}$. Motivados por distintas aplicaciones en análisis armónico, Herr et. al. en \cite{H-J-W} estudian el siguiente problema: dado un núcleo positivo $K:\mathbb{D}\times\mathbb{D}\to \mathbb{C}$, el conjunto de medidas de Borel $\mu$ sobre $\mathbb{T}$ para las cuales el núcleo $K_w(\cdot)=K(\cdot,w)$ posee una ``extensión'' $K_w^*$ a $\mathbb{T}$ que pertenezca a $L^2(\mu)$ y de modo tal que$$K_w(z) = \int_\mathbb{T} K_w^*(\xi) \, \overline{K_z^*(\xi)} \, d\mu(\xi).$$ En esta charla comentaremos una caracterización de dichas medidas en el caso particular que $K_z$ es el núcleo reproductor del espacio modelo $\varphi^* H^2 = H^2 \ominus \varphi H^2$, donde $\varphi$ es una función interna sobre $\mathbb{D}$. Dicha caracterización se consigue utilizando la teoría de Aleksandrov-Clark \cite{Alek} y nos permite mejorar los resultados de Herr et. al. en \cite{H-J-W} sobre núcleos positivos.\begin{thebibliography}{XXXXXX}\bibitem{Alek} A. B. Aleksandrov, Isometric embeddings of coinvariant subspaces of the Shift operator, Journal of Mathematical Sciences, vol. 92. 3543-3549. 1998.\bibitem{H-J-W} J. E. Herr, P . E. T. Jorgensen, E. S. Weber, Positive matrices in the Hardy space with prescribed boundary representations via the Kaczmarz algorithm, J. d'Analyse Mathematique (En prensa).\end{thebibliography}