Condición de Hartman generalizada para un sistema de segundo orden con condiciones de contorno de radiación

MARIEL PAULA KUNA

Ciudad de Buenos Aires

Seminario; Seminario de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico; 2015

Departamento de Matemática, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universiadad de Buenos Aires

Consideremos el siguiente sistema para una funci\'on vectorial $u: [0,1] \to \mathbb R^{n}$\begin{equation} \label{sis1}u''= \nabla_u G(x,u),\\\end{equation}donde $G: [0,1] \times \mathbb R^{n}\to \mathbb R$ es una func\'ion de clase $C^{1}$ respecto de $u$ y $\nabla_u G$ es superlineal, es decir $$\lim_{ \left|u\right| \rightarrow + \infty} \frac{\langle \nabla_u G(x,u), u \rangle}{\left| u\right|}= +\infty,$$uniformemente en $x\in [0,1]$, donde denotamos con $\left| \cdot \right|$ a la norma en $\mathbb R^n$.Con condiciones de contorno de tipo Sturm-Liouville (ver [BBR]),\begin{equation} \label{borde}u'(0)= a_0 u(0),\; u'(1)= a_1 u(1),\;\;\; \hbox{ con } a_0, a_1 >0.\end{equation}A trav\'es de distintos m\'etodos, y bajo ciertas hip\'otesis, obtuvimos resultados de existencia y multiplicidad de soluci\'on para el caso escalar, adem\'as de una caracterizaci\'on de las soluciones que cambian de signo.\medskipEn este trabajo probaremos existencia de soluci\'on para el sistema (\ref{sis1})-(\ref{borde}). Notemos que las condiciones de borde (\ref{borde}) son diferentes de las condiciones de Robin cl\'asicas en el hecho de que tanto $a_0$ como $a_1$ son positivas, por lo tanto, si consideramos la formulaci\'on variacional, el funcional asociado es de la forma $J(u) := J_0(u)-a_1J_1(u)$, donde $J_0$ es coercivo y $J_1$ toma valores arbitrariamente grandes en un subespacio de dimensi\'on $1$ de $H^1(0, 1)$. Por lo tanto, la dificultad de la demostraci\'on consiste en mostrar que igualmente el funcional $J$ es coercivo, y deducir de este hecho la existencia de un m\'inimo global.Por otro lado, observemos que $\nabla_u G$ satisface la condici\'on de Hartman (ver [H]), sin embargo, veremos que este hecho no alcanza para probar existencia de soluci\'on. Hallamos una condici\'onde Hartman generalizada que se aplica a este problema.\bigskip\noindent [H]  P. Hartman:, {\em On boundary value problems for systems of ordinary nonlinear second order differential equations}. Trans. Amer. Math. Soc. 96 (1960),493?509.\noindent [BBR] L. Bass, A.J. Bracken y C. Rogers, \emph{B\"acklund flux-quantization in a model of electrodiffusion based on Painlev\'e II}, J Phys. A Math. \& Theor. 45, 105204 (2012).