La órbita de un operador autoadjunto de rango cerrado

GUILLERMINA FONGI; ALEJANDRA MAESTRIPIERI

Córdoba

Congreso; LVII Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina; 2007

Unión Matemática Argentina

Sea  $L(mathcal{H})$ el álgebra de operadores lineales acotadosen $mathcal{H}$, con $mathcal{H}$ un espacio de Hilbert;  sean$L(mathcal{H})^s$ el subconjunto  de operadores autoadjuntos y$GL(mathcal{H})$ el grupo de operadores inversibles de$L(mathcal{H})$. Denotemos $CR(mathcal H)^s$ al subconjunto de$L(mathcal{H})^s$ de operadores de rango cerrado. El grupo $GL(mathcal{H})$ actúa sobre $CR(mathcal{H})^s$ de la siguiente  manera $$L: GL(mathcal{H}) imes CR(mathcal{H})^s ightarrowCR(mathcal{H})^s, ; L_ga= gag^*, ; a in CR(mathcal{H})^s, ; gin GL(mathcal{H}).$$Dado $a in CR(mathcal{H})^s$ (no necesariamente inversible), laórbita de $a$ correspondiente a esta acción es el conjunto$$mathcal{O}_a = {gag^*: g in GL(mathcal{H}) }.$$ Estudiamos  la estructura geométrica de  la órbita de un operador autoadjuntode rango cerrado.  Introducimos  en $ mathcal{O}_a$ una métrica$d$  de modo que  $ (mathcal{O}_a, d)$ resulta una variedaddiferenciable.Obtenemos algunas caracterizaciones de la órbita. Si $v_a, v_b$ son las isometrías parciales de  las descomposiciones polares de $a, b in CR(mathcal{H})^s$, resulta que $b in mathcal{O}_a$ si y sólo si $v_b in mathcal{U}mathcal{O}_{v_a}$, donde$mathcal{U}mathcal{O}_{v_a}={uv_au^*, u in mathcal{U}}$ es la órbita unitaria de $v_a$. Dado $c in L(mathcal{H})^s$, llamamosdescomposición positiva de $c$ a $c=c_1-c_2$, donde$c_1=rac{|c|+c}{2}$ y $c_2=rac{|c|-c}{2}$. Si $a,b inCR(mathcal{H})^s$, $a=a_1-a_2$ y $b=b_1-b_2$ son lasdescomposiciones positivas de $a$ y $b$, resulta que $b inmathcal{O}_a$ si y sólo si $p_{R(b)}inmathcal{U}mathcal{O}_{p_{R(a)}}$, $p_{R(b_i)}inmathcal{U}mathcal{O}_{p_{R(a_i)}},  i=1,2.$ Además, $$mathcal{O}_a={b in CR(HH)^s: dim N(b)=dim N(a), dimR(b_i)=dim R(a_i), , i=1,2}.$$