Una cota para el mínimo de un polinomio positivo para el simplex estándar

GABRIELA JERONIMO; DANIEL PERRUCCI

Mar del Plata

Congreso; LIX Reunión de Comunicaciones Científicas de la UMA; 2009

UMA

En los últimos años, el problema de determinar la positividad de un polinomio en n variables con coeficientes reales en un subconjunto de Rn ha sido ampliamente estudiado desde diferentes enfoques. Uno de ellos consiste en exhibir un certificado de positividad, es decir, una identidad algebraica que torne evidente el hecho de que el polinomio es positivo sobre el subconjunto  en cuestión.  Para construir tal certificado, resulta útil contar a priori con una cota positiva para el valor mínimo que debería tomar el polinomio en caso de ser, en efecto, positivo en dicho subconjunto ([PoRe], [Sch]). En esta comunicación presentaremos una nueva cota inferior para el mínimo de un polinomio con coeficientes enteros que sólo toma valores positivos sobre el simplex estandar n-dimensional, que depende únicamente de n, el grado del polinomio y el tamaño de sus coeficientes y refina las cotas conocidas hasta el momento ([BLR]). Este resultado se obtiene combinando el enfoque en [BLR] con las técnicas de deformación dadas en [JPS].Bibliografía[BLR] S. Basu, R. Leroy, M-F. Roy, On the minimum of a positive polynomial over the standard simplex. Disponible en arxiv.org/abs/0902.3304[JPS] G. Jeronimo, D. Perrucci, J. Sabia,  On sign conditions over real multivariate polynomials. Aparecerá en Discrete  Comput. Geom. DOI:  10.1007/s00454-009-9200-4.[PoRe]  V. Powers, B. Reznick,  A new bound for Polya´s theorem with applications topolynomials positive on polyhedra. Effective methods in algebraic geometry (Bath, 2000). J. Pure Appl. Algebra 164 (2001), no. 1-2, 221--229.[Sch] M. Schweighofer, On the complexity of Schmudgen´s positivstellensatz.  J. Complexity 20 (2004), no. 4, 529--543.