EXISTENCIA DE SOLUCIONES PERIÓDICAS PARA UN SISTEMA DE ECUACIONES CON DELAY

PABLO AMSTER; ALBERTO DÉBOLI; MARIEL PAULA KUNA

Valparaiso

Congreso; SUMA 2016; 2016

Unión Matemática Argentina y Sociedad Matemática Chilena

Encontramos una condici\'on de tipo Lazer-Leach para probar existencia de soluciones peri\'odicas para un sistema de ecuaciones de primer orden con delay. Inspirados en las aplicaciones (ver, por ejemplo,\cite{M} o \cite{S}), estudiamos el siguentesistema:\begin{equation} \label{delay} u_i'(t)=a_iu_i(t)+b_iu_i(t-\tau_i)+g_i(u_1(t-\tau_1),\ldots, u_N(t-\tau_N))+p_i(t), \;\; 1\leq i \leq N,\end{equation}donde $a_i, b_i\in \mathbb R$, los retardos $\tau_i \in \mathbb R_{\geq 0}$ son  a determinar, $g_i: \mathbb R^N \to \mathbb R^N$ son continuas y acotadas. Supongamos que $\left|a_1\right|<\left|b_1\right|$ y que  $p_i \in C(\mathbb R, \mathbb R^N)$ son funciones $2\pi /\omega$-peri\'odicas, donde $\omega=\sqrt{b_1^2-a_1^2}$.\medskipHallamos una condici\'on de tipo Lazer-Leach y una sucesi\'on de retardos $\tau_1^n\to +\infty$ para $n\to \infty$, tales que para casi todo $\tau_2, \ldots \tau_N$,  el problema (\ref{delay}) tiene al menos una soluci\'on $2\pi /\omega$-peri\'odica.\begin{thebibliography}{99}\bibitem{LL} A. Lazer y D. Leach\newblock{\em Bounded perturbations of forced harmonic oscillators at resonance}.\newblock Ann. Mat. Pura Appl., 82, pp. 49-68, 1969.\bibitem{M}J. Murray \newblock{\em Mathematical Biology}.\newblock Springer-Verlag, Berlin, 1989.\bibitem{S}H. Smith \newblock{\em An Introduction to Delay Differential Equations with Applications to the Life Sciences}.\newblock Springer-Verlag, Nueva York, 2011.\end{thebibliography}