Estimación robusta en modelos lineales generalizados de alta dimensión,

CLAUDIO AGOSTINELLI; MARINA VALDORA; VÍCTOR YOHAI

Santa Fe

Conferencia; Reunión anual de la Unión Matemática Argentina; 2015

Consideremos un modelo lineal generalizado donde la distribuci\'{o}n de larespuesta $y$ condicional al vector de covariables $\mathbf{x}$ pertenece auna familia $F_{\lambda}$ donde $g(\lambda)=\boldsymbol{\beta}_{0}^{\prime}\mathbf{x}$, $\mathbf{x}$ es un vector de covariables de dimensi\'{o}n $p$ y$\boldsymbol{\beta}_{0}$ un vector desconocido en $\mathbb{R}^{p}.$ Dada unamuestra ($\mathbf{x}_{1},y_{1}),...(\mathbf{x}_{n},y_{n}),$ los M-estimadoresse definen como la soluci\'{o}n a un problema de minimizaci\'{o}n de la forma\[\widehat{\boldsymbol{\beta}}=\text{argmin}_{\boldsymbol{\beta}}\sum_{i=1}%^{n}\Phi(\mathbf{x}_{i},y_{i},\beta)\]Para que estos estimadores sean robustos la funci\'{o}n $\Phi$ deber\'{a} seracotada. El m\'{e}todo usual para obtener una soluci\'{o}n inicial paracomenzar un proceso iterativo para computar este m\'{\i}nimo es submuestreo.Los estimadores de m\'{a}xima verosimilitud de estas submuestras son lascandidatos a estimadores iniciales, eligi\'{e}ndose aquel que realiza elm\'{\i}nimo de la funci\'{o}n objetivo. El problema de este procedimiento esque el n\'{u}mero de submuestras para obtener un alto punto de ruptura conalta probabilidad \ crece exponencialmente con $p.$ Por esta raz\'{o}n \ eneste trabajo se estudia un procedimiento para elegir candidatos similar al\ propuesto por Pe\~{n}a y Yohai (1999). Para esto, se calcula una matriz desensibilidad $\mathbf{R}$\ donde la fila $i$, que se denota como $\mathbf{r}%_{i},$ tiene como componente $j$ el efecto que tiene sobre la deviance de \la observaci\'{o}n $i,$ la eliminaci\'{o}n de la observaci\'{o}n $j.$ Secalculan las componentes principales de $\mathbf{R},$ y se proyecta cada fila$\mathbf{r}_{i}$ sobre cada una de estas componentes principales . Luego loscandidatos son los estimadores de m\'{a}xima verosimilitud que se obtieneneliminando las observaciones para las cuales estas proyecciones son extremas parauna componte principal dada. Se mostrar\'{a} que este procedimiento es robustoy permite ser utilizado para valores grandes de $p.$