Componentes de Thompson de operadores autoadjuntos

GUILLERMINA FONGI; ALEJANDRA MAESTRIPIERI

Salta

Congreso; LV Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina; 2005

Unión Matemática Argentina

Sea  $L(mathcal{H})$ elálgebra de operadores lineales acotados en un espacio de Hilbert $mathcal{H}$ y $L(mathcal{H})^s$ el subconjunto de operadores autoadjuntos. Definimos en $L(mathcal{H})^s$ la siguiente relación de equivalencia: dados $a,b \in L(mathcal{H})^s$, $a$ y $b$ son $equivalentes$ si existen $r_1,s_1,r_2,s_2 >0$ tales que$|a|+a \leq r_1(|b|+b),  |b|+b \leq s_1(|a|+a),  |a|-a \leqr_2(|b|-b),  |b|-b \leq s_2(|a|-a)$, donde $|a|=(a^*a)^{1/2}$.Esta relación extiende una relación que ya ha sido estudiada en elcono de operadores positivos. En el caso autoadjunto se hacaracterizado la clase de equivalencia o componente,  $C_a$, de$a in L(mathcal{H})^s$ y resulta $C_a simeq C_{a_1} imes C_{a_2}$, donde $a_1=\frac{|a|+a}{2}$ y $a_2=\frac{|a|-a}{2}$. Además si $a= |a|u_a$ es su descomposición polar se probó que $b \in C_a$ si y sólo si $|b| \in C_{|a|}$ y $ u_a=u_b $.Se puede definir en cada componente la siguiente métrica: si $b, c\in C_a$ $ d(b,c)= \max\{\log \max \{\inf{r>0:  b_1 \leq r c_1\}, \inf\{s>0: c_1\leq sb_1\}\}, \log \max\{\inf{r>0: b_2 \ eq rc_2 }, \inf\{s>0: c_2 \leq sb_2\}\}$. Si$a in L(\mathcal H)^s$ tiene rango cerrado se probó que $d(b,c)=\|log(|b|^{-1/2}|c||b|^{-1/2})\|$ y esta fórmula se extiende al caso general.