Componentes de operadores autoadjuntos.

GUILLERMINA FONGI; ALEJANDRA MAESTRIPIERI

Bahía Blanca

Congreso; LVI Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina; 2006

Unión Matemática Argentina

Sea $L(mathcal{H})$ el álgebra de operadores lineales acotados en un espacio de Hilbert  $mathcal{H}$, $L(\mathcal H)^s$ el subconjunto de operadores autoadjuntos y $GL(\mathcal  H)$ el grupo de operadores inversibles de $L(\mathcal H)$. El grupo $GL(\mathcal H)$ actúa sobre$L(\mathcal H)^s$ de modo que el conjunto de operadores inversiblesautoadjuntos, $GL(\mathcal H)^s$, es un espacio homogéneo de $GL(\mathcal H)$.Dado $a in L(\mathcal H)^s$, la órbita de $a$ correspondiente a estaacción es el conjunto $\mathcal O_a = {gag^*: g in GL(\mathcal H) }$. Secaracterizó este conjunto en el caso inversible: si $a inGL(\mathcal H)^s$ resulta que dado $b in GL(\mathcal H)^s $,  $b in \mathcal O_a$ si ysólo si su parte unitaria está en la órbita unitaria de $u_a$, donde$u_a$ la parte unitaria en la descomposición polar de $a$.Paralelamente definimos en $L(\mathcal H)^s$ tresrelaciones de equivalencia que  extienden una relación que ya ha sido estudiada en el cono deoperadores positivos. Resulta que las clases de equivalencia o$componentes$ de $a in L\mathcal H)^s$, $C_a, C_a^1,C_a^2 $ de las tres relaciones verifican que $C_a \subseteq C_a^1 \ subseteq C_a^2 $. Es  inmediato ver que si $\mathcal  P$ es el conjunto de las reflexiones y $u \in \mathcal P$ se tiene que $ \pi^{-1}({u})=C_u$, $\mathcal O_u=C_u^1 $ y $GL(\mathcal H)^s=C_u^2$ donde $\pi: GL(\mathcal H)^s \rightarrow  \mathcal P, \pi(a)=u_a$. Más generalmente, se probó que si $a$ es un operadorautoadjunto de rango cerrado entonces $C_a=\pi^{-1}({v_a})$,$C_a^1$  es la órbita de ${a}_{|_{R(a)}}$ dada por la acción delgrupo de operadores inversibles del $R(a)$ y $C_a^2=GL(R(a))^s$,donde $v_a$ es la isometría parcial de la descomposición polar de  $a$.