Las ecuaciones canónicas de Hamilton en problemas de control óptimo con horizonte finito

VICENTE COSTANZA

Córdoba, Argentina

Congreso; Reunión de la Unión Matemática Argentina 2007; 2007

U.M.A.

    En los problemas de control óptimo con horizonte finito que discutiremos se trata de minimizar un funcional del tipo  J(T,0,x₀,u(⋅))=∫₀^{T}L(x(τ),u(τ))dτ+x′(T)Sx(T) <label>Jcost</label> con respecto a todas las trayectorias de control u(⋅) que pueden aplicarse a un sistema de control determinístico, de dimensión finita, autónomo, inicializado, en general no lineal, sin restricciones sobre el estado final (aunque con penalización cuadrática), y con dinámica  x=f(x,u);x(0)=x₀. <label>nonlinear system</label>     Las funciones L,f serán asumidas suficientemente suaves (al menos C²).  El Hamiltoniano de un problema como éste, es decir  H(x,λ,u)≜L(x,u)+λ′f(x,u) <label>Hamiltonian</label> será asumido regular (que H admita un único mínimo con respecto a u en el dominio de operación, y dicho mínimo pueda expresarse como una función continua u⁰(x,λ), donde λ es el coestado, o variable adjunta del problema).  En estas condiciones, el Hamiltoniano minimizado toma la forma  H⁰(x,λ)≜H(x,λ,u⁰(x,λ)), y es sabido que el estado y coestado deben obedecer, a lo largo de la trayectoria óptima, las ecuaciones canónicas de Hamilton (<cite>Pontryagin et al.1962</cite>; <cite>Sontag1998</cite>, p. 406), es decir  x = (((∂H⁰)/(∂λ)))′≜F(x,λ);x(0)=x₀, <label>Hamilx</label> λ = -(((∂H⁰)/(∂x)))′≜-G(x,λ);λ(T)=2Sx(T). <label>Hamillambda</label>     Esta versión del problema es "de condiciones de contorno mezcladas" (two-point boundary-value), y por lo tanto de difícil (a veces imposible) resolución.    La conferencia versará sobre nuevos métodos para transformar este problema en uno de condiciones iniciales, a través de la submersión en una familia de problemas con dos grados de libertad: T,S.  Se demostrará que el estado final y el coestado inicial óptimos, ambos desconocidos y denotados  ρ(T,S)  ≜ x^{∗}(T) σ(T,S)  ≜ λ^{∗}(0) obedecen un sistema de ecuaciones diferenciales a derivadas parciales de primer orden, cuasi-lineal, con condiciones iniciales únicamente, y se ilustrará la solución de dichas ecuaciones en casos conocidos (lineal-cuadrático, bilineal-cuadrático, etc.).  Para el caso unidimensional (<cite>Costanza2007</cite>) dichas ecuaciones toman la forma  ρρ_{T}-(SF+(G/2))ρ_{S} = ρF ρσ_{T}-(SF+(G/2))σ_{S} = 0 con condiciones iniciales  ρ(0,S)=x₀, σ(0,S)=2Sx₀.     Se discutirán nuevos resultados para el caso multidimensional, y sus potenciales aplicaciones para generar un control óptimo del tipo feedback según la fórmula  u^{∗}(t)=u⁰(x^{∗}(t),σ(T-t,S)∣_{x₀=x^{∗}(t)}).      Costanza2007 : Costanza, V., "Finding initial costates in finite-horizon nonlinear-quadratic optimal control problems," Optimal Control Applications & Methods, aceptado para su publicación, 2007. Pontryagin et al.1962 : Pontryagin, L.S., Boltyanskii, V.G., Gamkrelidze, R.V., Mischenko, E.F.,  The Mathematical Theory of Optimal Processes.  Wiley, New York, 1962. Sontag1998 : Sontag, E.D., Mathematical Control Theory, Springer, New York, 1998.