Método de Shooting para una ecuación de segundo orden con condiciones de contorno de tipo o radiación

MARIEL PAULA KUNA; PABLO AMSTER

San Luis

Congreso; Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina; 2014

Unión Matemática Argentina

Consideremos la siguiente ecuaci\'on para una funci\'on $u: [0,1] \to \mathbb R$\begin{equation} \label{sis1}u''= g(x,u) + A(x),\\\end{equation}donde $A\in L^2(0,1)$ y $g: [0,1] \times \mathbb R \to \mathbb R$ es continua y superlineal, es decir $$\lim_{ \left|u\right| \rightarrow + \infty} \frac{g(x,u)}{u}= +\infty,$$uniformemente en $x\in [0,1]$.Con condiciones de contorno de tipo radiaci\'on (ver [BBR]),\begin{equation} \label{borde}u'(0)= a_0 u(0),\; u'(1)= a_1 u(1),\;\;\; \hbox{ con } a_0, a_1 >0.\end{equation}Estas condiciones de contorno son novedosas y se consideran de inter\'es. Observemos que difieren de cl\'asicas condiciones de Robin, donde $a_0>0>a_1$.\medskipA trav\'es de una formulaci\'on variacional, y bajo ciertas hip\'otesis, obtuvimos resultados de existencia y multiplicidad de soluci\'on para el problema (\ref{sis1})-(\ref{borde}), adem\'as de una caracterizaci\'on de las soluciones que cambian de signo.\medskipEn este trabajo estudiaremos el problema (\ref{sis1})-(\ref{borde}) con el m\'etodo de Shooting (ver [A]), con el objetivo de debilitar las hip\'otesis de los resultados anteriores y obtener m\'as informaci\'on del comportamiento de las soluciones del problema.\bigskip\noindent [A]  P. Amster, {\em Topological Methods in the Study of Boundary Value Pro\-blems}. Springer (2014).\noindent [BBR] L. Bass, A.J. Bracken y C. Rogers, \emph{B\"acklund flux-quantization in a model of electrodiffusion based on Painlev\'e II}, J Phys. A Math. \& Theor. 45, 105204 (2012).