Ecuaciones polinomiales y equilibrios de Nash

GABRIELA JERONIMO; DANIEL PERRUCCI; JUAN SABIA

Salta, Pcia. de Salta

Congreso; LV Reunión de Comunicaciones Científicas de la UMA; 2005

UMA

Un equilibrio de Nash de un juego no cooperativo es una situaciónen la cual ningún jugador puede cambiar su estrategia unilateralmente y obtener un beneficio, lo que hace que el juego se estabilice.Presentamos un algoritmo que estima la cantidad de equilibriosde Nash totalmente mixtos de un juego (es decir, equilibrios enlos cuales cada jugador utiliza todas las estrategias de las quedispone).Nuestro algoritmo se basa en técnicas de eliminación provenientesde la geometría algebraica y semialgebraica, utilizando una caracterización de los equilibrios buscados como las soluciones realespositivas de un sistema de ecuaciones polinomiales.En primer lugar, para un juego dado, obtenemos una descripción de los equilibrios totalmente mixtos del juego por medio de ecuaciones polinomiales univariadas. Esta descripción se deduce de una representación paramétrica de un conjunto de soluciones complejas del sistema de ecuaciones polinomiales asociado al juego. La cantidad de equilibrios de Nash totalmente mixtos se estima entoncesutilizando la representación calculada: el problema se reduce a determinar condiciones de positividad o negatividad de una familiade polinomios univariados sobre el conjunto de los ceros reales deotro polinomio univariado.El algoritmo obtiene también una representación exacta de losequilibrios totalmente mixtos de un juego genérico con cantidadde jugadores y estrategias prefijadas, lo que nos permite dar condiciones de genericidad bajo las cuales un juego con la estructura considerada tiene la máxima cantidad posible de tales equilibrios.