Una cota recursiva elemental para el Problema 17 de Hilbert y el Positivstellensatz

HENRI LOMBARDI; DANIEL PERRUCCI; MARIE-FRANCOISE ROY

La Falda, Córdoba

Congreso; Encuentro Nacional de Álgebra; 2014

El Problema 17 de Hilbertplantea si dado P en R[x1,..., xk] no negativo en R^k, P puede reescribirse como una sumade cuadrados de funciones racionales; obteniendo así un  certificado de la no negatividad de P.La respuesta afirmativa al problema 17 de Hilbert fue dada por Emil Artin en 1927;sin embargo, esta demostración es no constructiva y no brinda una cotapara el grado de los numeradores y denominadores de las funcionesracionales en la reescritura de P. Otro resultado estrechamente relacionado con el Problema 17 de Hilbert, es el Positivstellensatz, atribuido en forma independiente a Krivine y Stengle.Dado un sistema arbitrario de ecuaciones e inecuaciones polinomiales con la propiedad de no admitir solución en R^k,el Positivstellensatzestablece la existencia de una cierta  identidad algebraica que torna evidente este hecho; razón por la cual esta identidad se considera un certificado de la vacuidad del conjunto desoluciones del sistema. En esta comunicación, presentaremos una nueva demostración constructiva del Positivstellensatz tal que, siguiendo esta construcción, los grados de los polinomios involucrados en el certificado obtenido se encuentran acotados por una función recursiva elemental dada por una torre exponencial de altura 5. Esto brinda una nueva demostración constructivapara el Problema 17 de Hilbert, que proporciona también como cota para los grados de los numeradores y denominadores una función recursiva elemental dada poruna torre exponencial de altura 5. Esta comunicación esta basada en un trabajo conjunto con Henri Lombardi y Marie-Françoise Roy.